Automorphisme

une application linéaire de E vers F . f est un endomorphisme ssi E = F . f est un isomorphisme ssi f est bijective. f est un automorphisme ssi E = F et f est bijective. Exemples : 1) L’application f définie de IR 2 vers IR par f (( x , y )) = x + y est une application linéaire. 2) L’application f définie de IR 2 vers IR 2 par f (( x , y )) = ( y , x ) est un automorphisme. Définition : (égalité) Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, f ≡ g , ssi ∀x ∈ E : f ( x ) =

de E sur F est appelée isomorphisme d’espaces vectoriels. Les deux espaces vectoriels E et F sont alors dits isomorphes. – Un endomorphisme bijectif de E (c’est-à-dire une application linéaire bijective de E dans E) est appelé automorphisme de E. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E). Proposition 12. Linéarité de l’application réciproque d’un isomorphisme Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Si f est un isomorphisme de E sur F, alors f −1 est un isomorphisme de F sur E. 33 Démonstration

boule unit´ et σ(Sn ) d´signe la surface de u e e e la sph`re unit´. e e Exercice 1.7. Montrez que, si f : Sn → C est σn −bor´lienne alors e f (x)dσn (x) = n Sn Bn \{0} f( x )dx. x Exercice 1.8. V´rifiez que σ est invariante par tout automorphisme othoge n onal de R , c’est-`-dire que, si U est une transformation lin´aire de Rn dans a e Rn telle que ∀x, y ∈ Rn , U (x), U (y) = x, y , 6 Chapitre 1. alors Sn f ◦ U dσn = f dσn . Sn Exercice 1.9. Soit r > 0. Montrez que

si et seulement si | sin(θ/2)| = 1/2. L’équation sin(θ/2) = 1/2, avec θ ∈ [0, 2π[ donne θ = π/3 ou θ = −5π/3. L’équation sin(θ/2) = −1/2 avec θ ∈ [0, 2π[ n’a pas de solutions. L’ensemble des solutions est donc {eiπ/3 , e−iπ/3 }. Exercice 8 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup 1. Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a : 1− z−a 1 − az ¯ 2 = = = = |1 − az|2 − |z − a|2 ¯ |1 − az|2 ¯ 1 − az − a¯ − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 + az + a¯ ¯ z ¯ z |1 − az|2 ¯ 1 − |a|2 |z|2 − |z|2

Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E. • Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E. • Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire. Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition. Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme : f (E) ⊂ E et f bijective. Premières propriétés. Pour f : E → F linéaire : • f (0E ) = 0F ; • ∀u ∈ E, f (−u)

avec une probabilité tendant vers 1 quand le nombre de sommets croît vers l’infini. Chaque graphe étiqueté G = (V ,E) sur n sommets V = {1, . . . ,n} (avec au plus une arête, non orientée, entre chaque paire de sommets) peut être représenté (à un automorphisme près) par une chaîne binaire E(G) de longueur n : nous 2 fixons simplement un ordre, par exemple lexicographique, sur les n arêtes pos2 sibles d’un graphe à n sommets, et le i-ième chiffre binaire de la chaîne indique la présence (1) ou l’absence

Définition 1.15 Une application linéaire de E dans E s’appelle un endomorphisme. Définition 1.16 Une application linéaire de E dans F bijective s’appelle un isomorphisme. Définition 1.17 Une application linéaire de E dans E bijective s’appelle un automorphisme. Définition 1.18 L’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F se note L (E,F) , tandis que L (E) désigne l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans E. 1.5.2 Propriétés Proposition 1.12 L’image d’un sous-espace vectoriel

est bijective, on dit que f est un isomorphisme (de groupes) de G sur H. On dit alors que G est isomorphe à H, ou que G et H sont isomorphes. - Si G = H, on dit que f est un endomorphisme de G, et si de plus f est bijective, on dit que f est un automorphisme (de groupe) de G. Exemple 4.11 Etant donnés les groupes (R, +) et (R∗ , ·), alors les applications f: (R, +) −→ (R∗ , ·) x −→ exp x et g : (R∗ , ·) x −→ (R, +) −→ ln |x| Définition 4.9 Soit f : G −→ H un homomorphisme de groupes. On appelle noyau

est bijective, on dit que f est un isomorphisme (de groupes) de G sur H. On dit alors que G est isomorphe à H, ou que G et H sont isomorphes. - Si G = H, on dit que f est un endomorphisme de G, et si de plus f est bijective, on dit que f est un automorphisme (de groupe) de G. Exemple 4.11 Etant donnés les groupes (R, +) et (R∗ , ·), alors les applications f: (R, +) −→ (R∗ , ·) x −→ exp x g : (R∗ , ·) x et −→ (R, +) −→ ln |x| Définition 4.9 Soit f : G −→ H un homomorphisme de groupes. On appelle

endomorphisme de E. 2. Montrer l’´quivalence e f est bijective ⇐⇒ A et B sont premiers entre eux. Exercice 651 Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f + id. Montrer que f est un automorphisme. Exercice 652 Soit E un C–espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 2 − 3f + 2Id = 0L(E) . 1. Montrer que f est un automorphisme. 2. Montrer que E = ker(f − Id) ⊕ ker(f − 2Id). 3. D´duire de 2. que si E est de dimension finie n, il existe une base β = (εi )16i6n , telle que e ∀i, f (εi ) = λi εi avec λi =