Automorphisme

envoie un convexe sur un convexe. Preuve. – (voir par exemple, Berger t.1 p. 77 ou Bourbaki, Espaces Vectoriels Topologiques, exercice 6 p. 183 et Alg`bre, exercice 7 p. 201.) e On utilisera dans cette preuve le r´sultat suivant, admis : le seul automorphisme de e corps de R est l’identit´. La d´monstration se fait en plusieurs ´tapes. e e e 1. Remarquons d’abord que la 2`me affirmation implique la premi`re. e e Soit f une bijection v´rifiant les hypoth`ses du point 1, et g = f −1 . V´rifions que g e e

Matrices nilpotentes : Une matrice M est dite nilpotente s'il existe un entier n tel que Mn = 0. L'ensemble des matrices nilpotentes ne jouit d'aucune structure algébrique particulière. e) Matrices inversibles : Ce sont les matrices associées aux automorphismes. A priori, M est inversible si et seulement si il existe N tel que MN = NM = I. On note alors N = M–1. On dispose cependant de la proposition suivante : PROPOSITION : Dans n( ), il y a équivalence entre : i) M est inversible ii) ∃ N, MN = I iii)

e Soit z = x + iy (x et y r´els) un nombre complexe quelconque. e e e Le nombre complexe z = x − iy est appel´ le conjugu´ de z. On nomme conjugaison l’application de C dans C, d´finie par z → z. l l e Proposition La conjugaison est un automorphisme involutif du corps ( C, +, ×). l Cela signifie que : – 1 = 1 ; ∀ z ∈ C, z = z. l – ∀ (z1 , z2 ) ∈ C 2 : l z1 + z2 = z1 + z2 et z1 z2 = z1 z2 . Propri´t´s e e n – Pour tous complexes z1 , . . . , zn , n zk = k=1 – Pour

= 0 8x 2 F =) ((u ) (y u(y)) 2 N (q) = f0g puisque ' est non dégénérée. Donc (u ) (y) = u(y); 8 y 2 E; alors (u ) = u: K o¢ G e rm a in A B A L O 48 U F R -M I 4.2. GROUPE ORTHOGONAL Corollaire 4.6 : L’ application u 7 ! u est un automorphisme involutif de E: Théorème 4.7 : Soit u 2 L(E); B une base de E; M = matB (u); N = matB (u ); A = matB (') ; alors : N = A 1t M A: En particulier si B est une base orthonormée de E (relativement à ') alors : N = t M: Preuve : 8x; y 2 E; de v:c:c

. 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 17 17 17 18 18 19 19 20 21 21 22 23 23 23 24 25 25 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit u ∈ E, Rang(u) = q ≥ 1 et (e1 , . . . , eq ) une base de Im(u). Montrer qu’il existe q formes lin´aires (ϕ1 , . . . , ϕq ) e telles que : q ∀x ∈ E, u(x) = i=1 ϕi (x)ei . 4. Montrer que tout endomorphisme est somme de deux automorphismes. Exercice 9.6.161 Soit (an ) une suite de complexes. 1. Prouver que an n z et n! Sn (a) n z n! ont mˆme rayon de convergence. e 2. Comparer les rayons de convergence de an z n et de Sn (a)z n . Aller ` la page suivante→ a ← Aller ` la page

On dit qu’une application f : G1 → G2 est un isomorphisme de groupes si et seulement si 1. l’application f est un morphisme de groupes ; 2. l’application f est bijective. Remarque 118. Un isomorphisme d’un groupe G vers lui-mˆme est appel´ un automorphisme. e e Th´or`me 12.30 : La bijection r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e e e Si f est un isomorphisme de groupes, sa bijection r´ciproque f −1 : G2 → G1 est aussi un e isomorphisme de groupes. Exemple 21. Soit f : (R,+) −→ (R+∗

dit qu’une application f : G1 → G2 est un isomorphisme de groupes si et seulement si 1. l’application f est un morphisme de groupes ; 2. l’application f est bijective. Remarque 118. Un isomorphisme d’un groupe G vers lui-mˆme est appel´ un automorphisme. e e Th´or`me 12.30 : La bijection r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e e e Si f est un isomorphisme de groupes, sa bijection r´ciproque f −1 : G2 → G1 est aussi un e isomorphisme de groupes. Exemple 21. Soit f : (R

dit qu’une application f : G1 → G2 est un isomorphisme de groupes si et seulement si 1. l’application f est un morphisme de groupes ; 2. l’application f est bijective. Remarque 118. Un isomorphisme d’un groupe G vers lui-mˆme est appel´ un automorphisme. e e Th´or`me 12.30 : La bijection r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e e e Si f est un isomorphisme de groupes, sa bijection r´ciproque f −1 : G2 → G1 est aussi un e isomorphisme de groupes. Exemple 21. Soit f : (R

matrices carrées. 2. espaces vectorieLs eucLidiens Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont de dimension finie sur R. a) Géométrie des espaces euclidiens : Endomorphismes symétriques ; matrice associée dans une base orthonormale. Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal (rotations). Matrices orthogonales. Changement de base orthonormale. b) Réduction des endomorphismes symétriques. Réduction d’un endomorphisme symétrique dans une base orthonormale. diagonalisation