Bijection

Soient x ̸= x′ deux réels. On appelle x le plus petit des deux : x < x′ donc f (x) < f (x′ ) donc f (x) ̸= f (x′ ) donc f est injective. Si f est strictement décroissante, le raisonnement est analogue. Définition 1.9. Une application f : E → F est une bijection ou est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, c’est à dire si elle vérifie l’une des deux propriétés équivalentes suivantes : (1) Tout élément de F admet un antécédent et un seul. (2) Pour tout élément y ∈ F , l’équation f

sym´trisables pour le produit : l’inverse de la suite e 1 . de terme g´n´ral un est alors la suite de terme g´n´ral e e e e un – Dans (F(E), ◦), une application est inversible si et seulement si elle est bijective. Son inverse est alors sa bijection r´ciproque. La notation f −1 est donc justifi´e. e e I.9 El´ments simplifiables e D´finition e Soit E un ensemble muni d’une loi ∗. Soit x un ´l´ment de E. ee On dit qu’un ´l´ment x de E est simplifiable (ou encore r´gulier ) si : ee

( ) ( ) { ( ) ( ) { { { ( ) { Donc } On peut utiliser le théorème du rang, mais je vais faire plus théorique (pour rire), est un endomorphisme dont le noyau est réduit au vecteur nul est une injection, c’est donc une bijection, donc est surjective et ( ) . Allez à : Exercice 24 Correction exercice 25. 1. a) Les coordonnées du vecteur ( ) dans la base ( Donc ( ) b) ( ) c) ( )( ) ) et ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) Donc sont :

 Université Hassan 1er  Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2

Généralités sur les fonctions, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2011 Table des matières 1 Fonctions de référence 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Fonction carré . . . . . . Fonction inverse . . . . . Fonctions anes . . . . Fonction racine carrée . Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONCOURS COMMUN 2009 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mardi 19 mai 2009 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à

max(1 A (x),1 B (x)) = 1 A (x) + 1 B (x) − 1 A (x) · 1 B (x) . – Différence symétrique. ∀x ∈ E, 1 A B (x) ⇔ ∀x ∈ E, 1 A (x) 1 B (x). = 1 A (x) + 1 B (x) − 2 · 1 A (x) · 1 B (x). Proposition : L'ensemble des parties de E, P (E) est en bijection avec l'ensemble des fonctions de E dans {0,1}, F (E,{0,1}). 6 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches 1 Différence symétrique Soit X et Y deux sous-ensembles d’un ensemble E. Montrez que l’égalité suivante est

faut que x > – 3 et que x² + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3 ) >0 (à l’extérieur des racines) donc D = ]– 3 ; +∞ [. 1 + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ ln e + ln(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ ln e(x + 3) = ln(x² + 2x – 3) ⇔ e(x + 3) = x² + 2x – 3. ln est une bijection : x² + (2 – e)x – 3(1 + e) = 0 , ∆ = (2 –e)² + 12(1 + e) = 4 – 4e + e² + 12 + 12e = e² + 8e + 16 = (e + 4)². x= −(2 − e) ± ( e + 4) , x1 = –3 ∉ D ou x2 = e + 1 ∈D. S = {e + 1}. 2 6. ln(x² – 4e²) < 1 + ln(3x) Il faut que x² – 4e² >0 et

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

Eléments de logique Exercice 1 Décrire les parties de ℝ dans lesquelles évoluent x pour que les assertions suivantes soient vraies : a) (x > 0 et x < 1) ou x = 0 b) x > 3 et x < 5 et x ≠ 4 c) (x ≤ 0 et x > 1) ou x = 4 Exercice 2 d) x ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 . Etant donnés P , Q et R trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité : a) P ou (Q et R ) ∼ (P ou Q ) et (P ou R ) b) non(P ⇒ Q ) ∼ P et non(Q ) . Exercice 3 On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d’entre elles ont