Bijection

fonction de ℝ*+ dans ℝ , notée ln, et vérifiant : pour tout élément x de ℝ*+ , on a ln ′ ( x ) = 1 et ln (1) = 0 . On l’appelle x fonction logarithme népérien. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on obtient : « La fonction ln est une bijection de ℝ*+ dans ℝ » Sa fonction réciproque est la célèbre fonction exponentielle dont nous parlerons très bientôt. ln x Une autre propriété intéressante du logarithme est la suivante : lim = 0 qui permet +∞ x de lever quelques indéterminations. Remarques

tel que f (c) = y . Corollaire 3. Soit I un intervalle de R et soit f ∈ C(I, R), alors f (I) est un intervalle de R. 8.2 Fonction continue strictement monotone Théorème 9. Théorème de bijection Soit I un intervalle de R et soit f ∈ C(I, R), si f est strictement monotone, alors f réalise une bijection de I sur f (I) et f −1 est continue sur f (I) et strictement monotone de même sens. 10 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 9 Exercices Exercice 1. Calculer lorsqu'elles existent les limites

. . . 4.4.1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . 4.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . 4.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . 4.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . 4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . 4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . 4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . 4.5.2 Fonctions

intervalle I = [a, b]. Alors, pour tout réel l intermédiaire entre ¦(a) et ¦(b), il existe (au moins) un réel c Î I tel que ¦(c) = l. (Autrement dit, l'équation ¦(x) = l admet au moins une solution dans I) Fonction continue sur un intervalle. TVI. Bijection Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Démonstration : D'après le théorème 2, comme ¦ est continue sur I, ¦(I) est un intervalle. Par ailleurs on ¦(a) Î ¦(I) et ¦(b) Î ¦(I), donc l Î ¦(I) (puisque ¦(I) est un intervalle et l est intermédiaire

ln est une bijection strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment

réel. Préciser graphiquement le nombre de solutions de l'équation , f(x) = m 9°) h est la restriction de f à l'intervalle k = * Montrer que h définie une bijection de K sur un intervalle L à préciser. * En déduire que l'équation , h (x) = 0 admet une solution unique * Vérifier que * Déduire du a) que h admet une bijection réciproque h- 1dont on précisera l'ensemble de définition et le sens de variation. * Quelle est la valeur h- 1(0) ? Justifier que h- 1est dérivable en 0 et

f(c1) = f(c2) = f(c3) = k Corollaire (Th bijection) : si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k admet une solution unique dans [a ; b]. Rq : * L’existence de cette solution est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires. L’unicité est due à la monotonie de la fonction. * On dit que f réalise une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] (si f est croissante) ou sur [f(b) ;

croissante sur un intervalle I. Alors : 1) f constitue/réalise une bijection de I sur un certain intervalle J. 2) L’intervalle J est l’intervalle délimité de la manière suivante : Notons a, b avec [pic] les extrémités dans [pic] de I. Les extrémités de J dans [pic] sont [pic] tels que : - Si [pic], [pic] et [pic] - Sinon, [pic] et [pic] De même pour [pic] 3) La bijection réciproque [pic] est continue et strictement croissante sur J

notion de bijection Théorème 4 Soit une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [(a), (b)]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [(b), (a)]. Remarque : On peut remplacer (a) par et [a, b] par ]a, b], [(a), (b)] par ], (b)], lorsque n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie). si est la bijection réciproque

sur car dérivable sur . Donc f réalise une bijection de vers  lim th  x  ; lim th  x  . x   x  th'  x   Calcul de la limite en + : Soit x th  x   ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x , or lim e2 x  lim e X  0 avec X  2x .   x  X  ex  e x ex 1  e2 x  1  e2 x 1  e2 x  1 , alors lim th  x   1 , la fonction th étant impaire, lim th  x   1 . x x  x  1  e2 x Donc lim Donc f réalise une bijection de vers 1; 1 . f. th  0  0 et th'