Bijection

fonction de R dans R vérifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2 1. Montrer que f est continue sur R. 2. Montrer que f est dérivable sur R et ∀ x, f (x) = 0. 2 Dérivabilité de bijection réciproque Exercice 7 Soit f : x −→ x3 + x. 1. a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x). b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de g. c) Montrer que g est de classe C ∞ . 2. Déterminer limg, puis

croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par la lettre e. On convient de noter xe pour exp (x), pour tout x réel. II - Fonction logarithme népérien Théorème et définition La fonction exp réalise une bijection R de sur ]0, + ∞[. Sa bijection réciproque, fonction de ]0, + ∞[ dans , est appelée fonction logarithme népérien et est notée ln. Propriétés immédiates La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[. ln 1 = 0 ; ln e = 1. La fonction ln est strictement

déduire que[pic] c) Montrer alors que F est dérivable à droite en 0 et que F’d (0)= - 1. 2) a) Montrer que[pic]. b) En déduire que : 0[pic]. 3) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F’(x)[pic]. 4) a) Montrer que F réalise une bijection de[pic]. b) Etudier la dérivabilité de F -1 sur[pic] . EXERCICE N°4 : Soit f et g feux fonctions définies sur[pic] n désigne un entier naturel supérieur ou égale à 2. 1/ a) Montrer que[pic]. b) Démontrons que[pic]. 2/ On pose S[pic]

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)

intermédiaires l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [ 0 ; [pic]] donc ... Comment déterminer le nombre de solution(s) d’une équation du type f(x) = k ? Méthode Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ou théorème de la bijection permet de prouver l’existence d’une solution unique à une équation du type f(x) = k sur un intervalle donné . Pour déterminer le nombre de solution(s) d’une telle équation, on doit appliquer

1.2 Bijection Théorème 2 dit de la « bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B]. Démonstration Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur [a, b]. Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b). D’après le théorème

tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution L'existence d'une solution c dans [a , b] de l'équation f(x) = k est assurée par le théorème des valeurs intermédiaires puisque

( ) On pourra poser ( ) 3. ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 31 Exercice 32. ( ) Soit l’application définie par ( ) 1. Déterminer un développement limité de à l’ordre en . 2. Montrer que est une bijection et que sa bijection réciproque est de classe , en déduire que a un développement limité à l’ordre . ( ) ( ) le développement limité de On note en . ( ( )) 3. En déduire le développement limité de en exploitant la relation . Allez à : Correction

propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmes que celles d’une puissance : [pic] Quels que soient a et b réels : [pic] [pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][ Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel

pour n entier, ln(2n) = nln(2) (récurrence facile) et que cette quantité tend vers +∞ quand n tend vers +∞, la seule conclusion possible est : lim ln(x) = +∞ x → +∞ -1- Et donc, en considérant 1 : x lim ln(x) = –∞ x→0 ln réalise donc une bijection de ]0, +∞[ sur ]–∞, +∞[. Sa réciproque est l'exponentielle : t = ln(x) ⇔ x = et e 1 Le nombre e est tel que 1 = ln(e) soit ⌠  t dt = 1. e vaut environ 2,71828... ⌡1 Les limites relatives à ln se traduisent pour l'exponentielle de la façon suivante