Bijection

est-elle bijective ? Pourquoi ? 2. Soit g la restriction de f sur l'intervalle I = [1, +∞[ . (a) Montrer que ∀x ∈ I : g(x) 2. (b) Montrer que g est une bijection de I vers l'intervalle J =]0, 2[. Trouver g −1 . √ 3. Soit l'application h de J vers J telle que : ∀x ∈ J : h(x) = 4 − x2 . (a) Montrer que h est bijective et donner sa bijection réciproque. (b) Dénir l'application h ◦ g . (c) Trouver l'intervalle pour lequel l'application h ◦ g est bijective. (d) Montrer que (h ◦ g)−1 = g −1 ◦

fonction constante ´egale `a 1. Proposition 4.4. — La fonction ln est une bijection strictement croissante de R∗+ sur R. D´emonstration. — Comme ln (x) = 1/x > 0, la fonction ln est strictement croissante. En particulier ln(2) > ln(1) = 0. Donc quand n tend vers +∞, ln(2n ) = n ln(2) tend vers +∞ et ln(1/2n ) = −n ln(2) tend vers −∞. D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, on en d´eduit que ln est une bijection strictement croissante de R∗+ sur R. D´ efinition 4.5. — On d´efinit l’application

Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) ( ) [ ( ) Sur ] , donc l’équation ( ) n’a pas de solution ; sur l’intervalle ] [, la fonction est continue (car dérivable) et monotone croissante de à . Ceci est valable a ] donc, d’après le théorème de la bijection, il existe un unique réel fortiori sur l’intervalle [ [ ] tel que ( ) . Question 3 D’après la question 1, les fonctions ( ) ( ) et sont de même signe donc : Calcul des limites : ( ) D’où : ( ) ( ) D’autre part : ( ) ( ) Question 4.a On cherche

⊆ f([a, b]) 22mais en général l’ensemble de gauche est beaucoup plus petit que celui de droite. Penser à une fonction telle que f(a) = f(b). L’égalité est cependant vraie si f est une fonction strictement monotone (c’est le théorème de la bijection, que l’on verra plus loin). Voici un cas particulier du TVI, démontré en 1817 par Bolzano. Corollaire 2.3.4 (Théorème de Bolzano). Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Si f(a)f(b) < 0, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0. Démonstration

continue sur ] ] [ pour lesquels ( ) Quel est l’ensemble des . 4. Dresser le tableau de variation de et tracer son graphe. En déduire que est injective. ] sur ([ ]) définie par ̂( ) ( ), pour tout 5. On désigne par ̂ la bijection de [ [ ] et on désigne par ̂ sa bijection réciproque. Justifier l’existence et déterminer ( ̂ ) ( ). Allez à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : Soit la fonction définie par : ( ) { Déterminer et dans tels que soit (c’est-à-dire deux fois dérivables

quel que soit y. Si f et g sont surjectives, alors g o f l'est. En effet : ∀ z, ∃ y, z = g(y) (surjectivité de g) ⇒ ∀ z, ∃ y, ∃ x, z = g(y) et y = f(x) (surjectivité de f) ⇒ ∀ z, ∃ x, z = g(f(x)) ⇒ ∀ z, ∃ x, z = (g o f)(x) (définition de g o f) d) bijection : f surjective et injective est dite bijective. Si f est bijective, l'équation f(x) = y a exactement une solution x, quel que soit y. On peut alors définir la fonction réciproque f–1 de f par l'équivalence : y = f(x) ⇔ x = f–1(y). –1 On a alors f(f

f est une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J si 1. ∀x ∈ I : f (x) ∈ J 2. ∀α ∈ J : ∃! x ∈ I | f (x) = α Remarque 4 La deuxi`eme propri´et´e signifie que pour tout α de J, l’´equation f (x) = α poss`ede une et une seule solution dans I. Th´ eor` eme 9 Soit f une fonction d´erivable sur l’intervalle [a; b] D´ erivation 6 1. Si ∀x ∈ ]a; b[ f 0 (x) > 0 alors f est une bijection de [a; b] sur [f (a) ; f (b)] 2. Si ∀x ∈ ]a; b[ f 0 (x) < 0 alors f est une bijection de [a; b]

un intervalle. Par exemple la fonction x e e sur R¡¦ et sur R ¦ , mais pas sur R¦ . 2. Lien avec la notion de bijection Th´or`me 4 e e Soit f une fonction d´rivable sur l’intervalle [a, b]. e ­ Si, pour tout x È ]a, b[, f ½ ÔxÕ 0, alors f r´alise une bijection strictement croissante de [a, b] sur e [f (a), f (b)]. ­ Si, pour tout x È ]a, b[, f ½ ÔxÕ 0, alors f r´alise une bijection strictement d´croissante de [a, b] sur e e [f (b), f (a)]. ­ On peut remplacer f (a) par lim f a 3. Extrema d’une

e 2. Le mod`le. — Garsia et Remmel [4] ´tudient une classe de permue e tations, dont ils montrent qu’elles sont en bijection avec les d´rangements e et dont Remmel [9] a montr´ que leur nombre satisfaisait la r´currence e e de la proposition 1 par des m´thodes purement bijectives. N´anmoins, la e e classe de permutations ainsi mise en ´vidence est caract´ris´e par leur e e e bijection avec les d´rangements. e Le mod`le que nous proposons, qui est diff´rent de celui de Garsia et e e Remmel, peut ˆtre

injective et a surjective. ou Une application de E vers F est bijective si chaque ´l´ment de F a 1 ant´c´dent ee e e et un seul. ♦ Propri´t´s des bijections e e 1. La r´ciproque d’ une application F est une application si et seulement e si F est bijective. 2. La r´ciproque d’ une bijection est aussi une bijection appel´e bijection e e r´ciproque e notation: F −1 ⇐⇒ r´ciproque de F e y = F(x) ⇐⇒ x = F −1 (y) 10