Bijection

Activit´e de math´ematiques Composition de fonctions et encadrement On consid`ere les fonctions de r´ef´erence suivantes : – fonction affine de param`etres a et b : f (x) = ax + b 1 – fonction inverse : f (x) = x – fonction carr´e : f (x) = x2 Encadrement et sens de variation 1. Rappeler les ensembles de d´efinition ainsi que les tableaux de variations des fonctions affines, carr´e et inverse. 2. On consid`ere un nombre r´eel x tel que 1 x 2. (a) D´eterminer le tableau de variations de la fonction

L’infini, c’est gros comment  ?  |  Frédéric Gourdeau • Université Laval Annick    Georg Cantor, c’est un mathématicien d’origine russe qui s’est intéressé aux ensembles infinis. La notion-clé de sa démarche est la bijection. Regarde ce que j’ai imprimé. Bijection Le visage de Yannick s’éclaire.  Je vois ! On peut transformer les naturels, en multipliant chacun par deux, pour obtenir les nombres pairs. On ne détruit rien, donc on en a autant avant de multiplier par deux, qu’après

Georg Cantor Georg Cantor (1845 – 1918) est un mathématicien allemand principalement connu pour sa théorie des ensembles et les relations entre ceux-ci (bijection entre les ensemble). Il définit également les ensembles infinis et les ensembles « bien ordonnés ». Il s'intéresse aux concepts de limite et de continuité de fonctions, de courbes, indissociables de celui de nombre réel et d'un langage mathématique précis. Il définit les nombres cardinaux et les nombres ordinaux. Après parcours scolaire

1 x x x       . 2)- On considère l'application :    : 1; ;3 3 4 1 f x x x       . a)- Déterminer 1 5 1; 2 f          et   2;f  . b)- Montrer que f est bijective et donner sa bijection réciproque 1f  . o Exercice 02:  On considère l'application :   : 1 , f x y x y        . 1)- a)- Résoudre dans   , l'équation :   2 , 3 f x y  . b)- L'application f est-elle surjective ? justifier votre réponse

on en d´duit le r´sultat. e e e Exercice 2 : “Cardinal” d’une tribu. Le but de l’exercice est de montrer qu’il n’existe pas de tribu A d´nombrable (infinie). e 1. Question pr´liminaire. On rappelle qu’un ensemble E est d´nombrable s’il est en bijection e e avec N. (a) V´rifier que N2 est d´nombrable. En d´duire que Nk est d´nombrable pour tout e e e e k ≥ 2, et qu’une r´union d´nombrable d’ensembles d´nombrables est d´nombrable. e e e e (b) V´rifier que si E est infini, alors P(E) n’est pas d´nombrable

48. Théorème des valeurs intermédiaires Oral 1 Plan Introduction 1 1 Le théorème des valeurs intermédiaires 2 2 Le théorème de bijection 2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . . 2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k 2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 . . . . .

Théorème de la bijection (corolaire) Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a ;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution sur [a ;b]. Exemple : f(x)=√2x + 8 Df=[-4 ;+∞[ Démontrons que l’équation f(x)=5 admet une unique solution sur [-4 ;10] f’(x)= 1 √2x+8 x -4 +∞ f’(x) + f(x) 0 • f est continue et strictement croissante sur [-4 ;+∞[ f(-4)=0 <5 f(10)=√28 >5 Selon le théorème de la bijection, l’équation f(x)=5

Corollaire : Inégalité des accroissements finis 62 Exercice 63 Règle de L’Hôpital 64 Exemples 65 Mise en garde 66 Théorème de la bijection 67 Conséquence sur le théorème des valeurs intermédiaires 68 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc sinus 69 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc cosinus 70 Quelques bijections : Fonctions circulaires inverses Arc tangente 71 Représentations graphiques 72 Les fonctions arc sinus (en rouge) et arc cosinus (en

dérivable sur ] 0; + ∞ [ et pour tout x de ] 0; + ∞ [ , ( ln x ) ' = ln' x = 1 x • ln1 = 0 1 1 • ln' x = sur ] 0; + ∞ [ , > 0 donc x a ln x est strictement croissante sur ] 0; + ∞ [ . x x • x a ln x est dérivable et monotone sur ¡ + * donc c’est une bijection de ] 0; + ∞ [ sur ¡ . D’où x1 = x 2 si et seulement si ln x1 = ln x 2 avec x1 > 0 et x 2 > 0 . • x a ln x est croissante donc x1 < x 2 si et seulement si ln x1 < ln x 2 0 < x ≤ 1 si et seulement si ln x ≤ 0 1 ≤ x si et seulement si ln x ≥ 0 2 ) Propriétés

y) . : E × E → E une loi de composition . 3 ´ 2. Une application : les espaces R et R2 ne sont pas homeomorphes On sait que les ensembles R et R2 ont le mˆme cardinal, autrement dit qu’il existe une bijection entre les deux. e Nous allons pourtant montrer que parmi toutes ces bijections f , il n’en existe aucune qui v´rifie en plus les propri´t´s 1 e ee ˜ est continue , f est continue et f ˜ e la notation f d´signant la fonction r´ciproque de f . e Avant cela, indiquons rapidement qu’il existe