Bijection

dn 4 ⇒   lim sn = 0 n→+∞  lim dn = 0 n→+∞ Corrigé de l’exercice 4 1. Posons M (x, ex ), et f (x) = AM 2 = (x − a)2 + (ex − b)2 . f (x) = 2(e2x − bex + x − a) et f (x) = 2(2e2x − bex + 1) > 0. De plus L’application f est une bijection strictement croissante de R sur R.   lim f (x) = −∞ x→−∞  lim f (x) = +∞ x→+∞ 2. Le minimum est obtenu en x0 tel que f (x0 ) = 0, donc e2x0 − bex0 + x0 − a = 0. − −→ − − → −− − −− On obtient la même égalité en écrivant AM (x) ·

encore (a), (b) et (c). Il n'est pas difficile de montrer, en utilisant (d), que, si un tel système existe, il est unique à un isomorphisme près, cette dernière expression signifiant que, si deux tels systèmes S1 et S2 sont donnés, il existe une bijection S1 → S2 qui est un homomorphisme de corps totalement ordonnés ; S1 et S2 sont donc structurellement isomorphes. On aura donc loisir d'appeler ensemble des nombres réels tout système satisfaisant (a), (b), (c), (d). Cependant, l'existence d'un tel

= 0). Sinon ∂µxα = ∂µ1 x1 xα1 1 · · · ∂µdxd x αd d = ( α1! (α1 − µ1)! xα1−µ1 1 ) · · · ( αd! (αd − µd)! xαd−µdd ) = α! (α− µ)! xα−µ. La conclusion (facile) est laissée à titre d’exercice. � Théorème 3.4. La transformation de Fourier est une bijection de S(Rd) sur lui-même (la réciproque est donnée par la formule d’inversion de Fourier). Démonstration. Comme xjϕ ∈ S(Rd) d’après la Proposition 3.3, xjϕ ∈ L1(Rd) d’après la Proposi- tion 3.2. Comme ceci est vrai pour tout j, (3.2) montre que

segment. La d´monstration de ces r´sultats n’est pas e e exigible. Les ´tudiants doivent savoir utiliser les m´thodes e e dichotomiques pour la recherche des z´ros e d’une fonction continue. Comparaison des repr´sentations graphiques e d’une bijection et de la bijection r´ciproque. e La d´monstration de ce r´sultat n’est pas e e exigible des ´tudiants. e Toute ´tude syst´matique des fonctions uniform´ment e e e continues est exclue. Si f et g sont continues, |f |, sup(f, g), inf(f, g) le sont. Comparaison

(A, B), o` u A ⊂ E et B ⊂ F . Les ´el´ements de P(E × F ) sont les sous-ensembles de E × F . Il n’y a pas d’inclusion entre P(E × F ) et P(E) × P(F ). Cependant, si on note G = {X × Y, X ⊂ E, Y ⊂ F }, alors l’application (X, Y ) → X × Y est une bijection de P(E) × P(F ) sur G, et G ⊂ P(E × F ) (sans qu’il y ait en g´en´eral ´egalit´e comme le montre l’exercice 1). ´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ] Corrige 1. Si F v´erifie (a) et (b), et si ∅ est un ´el´ement de F, toute partie Y de E est

à dire : Par une isométrie, – Les images de deux droites // sont deux droites //. – Les images de deux droites  sont deux droites  . Th 5 : Toute isométrie transforme un repère orthonormé en un repère orthonormé. Th 6 : Toute isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. Th 7 : Toute isométrie conserve le barycentre de deux points pondérés en particulier le milieux. Th 8 : L’image d’un cercle C(O, R ) par une isométrie f est un cercle C ' de centre O'  f (O) et de même rayon R

exacte de . . est solution de ( ). , alors non nuls, { et ) { ( ) . . Correction de l’exercice 9 Retour au menu 1) Justifions que l’équation ( ) admet une unique solution dans . Rappel : Théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), alors, pour tout réel Monotonie de croissante Intervalle [ (

= sup f. (3.9) Fonctions r´ciproques. Soit I un intervalle et f : I → R une application continue, strictement e monotone sur I . • Alors J = f (I) est un intervalle de mˆme nature que I (ouvert, ferm´, semi-ouvert). e e • f r´alise une bijection de I sur J et f −1 : J → I est continue et de mˆme sens de monotonie e e que f . • Si I = [a, b] et f est croissante (resp. d´croissante), alors J = [f (a), f (b)] (resp. [f (b), f (a)]). e • Si I =]a, b], alors J =] lim f (x), f (b)], . .

(resp. .- ) * Limite d'une fonction croissante et majorée sur ]a;b[ 2- Fonctions continues sur un intervalle * Opérations * Image d'un intervalle, d'un segment * Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle (la continuité de la bijection réciproque est admise ) 3- Fonctions dérivées * Dérivées successives, * Dérivée d'une fonction composée (admis) * Existence de la dérivée de la fonction réciproque (admis), formule * Majorant, minorant, extremums d'une fonction 4-Complements

y) (x0, y0) D(f1, f2) D(x, y) (x0, y0) = ∂f1 ∂x (x0, y0) ∂f2 ∂y (x0, y0)− ∂f2 ∂x (x0, y0) ∂f1 ∂y (x0, y0) Dé�nition 7 Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. On dit que f est un Ck-di�éomorphisme de U dans V si f est une bijection de U sur V telle que f soit de classe Ck sur U et f−1 de classe Ck sur V . Proposition 7 Soient U , V deux ouverts de R2 et k un entier naturel non nul. Si f est un Ck-di�éomorphisme de U sur V , alors pour tout (x, y) ∈ U , avec (z, w) = f(x, y)