Bijection

solution par un ensemble de gènes, c'est-à-dire un chromosome, sous un certain codage (binaire, réel, code de Gray, etc. ...), valeurs qu'on concatène pour obtenir une chaîne de caractères qui est spécifique à une solution bien particulière (il y a une bijection entre la solution et sa représentation codée • On traite une population "d'individus", de solutions : cela introduit donc du parallélisme. • L'évaluation de l'optimalité du système n'est pas dépendante vis-à-vis du domaine. • On utilise des règles

(ℕ*) 2 , on a ∑p d =1 d = 1 . Mais 2 n →+∞ donc 2 par extraction pd = lim Card Ad ∩ {1,…, nd } Card {1,…, nd } 2 n →+∞ , or Card Ad ∩ {1,…, nd } = Card A1 ∩ {1,…n } car (x , y ) ֏ (dx ,dy ) réalise une bijection entre ces deux ensembles. Par suite pd = lim p1 = π . 6 2 Card A1 ∪ {1,…, n } d Card {1,…, n } 2 2 2 n +∞ = p1 . La relation d2 +∞ ∑p d =1 d = 1 donne alors p1 ∑ π2 1 = p1 = 1 d’où 2 6 d =1 d +∞ 3/3 

: pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que y = f (x). − une bijection, ou que f est bijective ssi tout élément de F admet exactement un antécédent dans E : pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E, x unique, tel que y = f (x). On parle alors de bijection de E sur F. 3 Introduction Exemple important Soit E un ensemble (non vide). L’application IdE : E → E, x → IdE (x) = x est appelée l’application identité de E. (C’est d’ailleurs une bijection.) Propriétés Proposition 1. Une application est bijective ssi

entier naturel non nul, il existe x dans [0, 1] pour lequel 1 f (x + n ) = f (x) Exercice 18 Soit f l’application de [0, 1] dans [0, 1] par : f (x) = x si x rationnel 1 f (x) = x + 2 − E(x + 1 ) si x irrationnel 2 Montrer que la fonction f est une bijection de [0, 1] sur [0, 1] non continue en aucun point de [0, 1]. Exercice 19 Soit f une application de R+ dans R telle que f (x + 1) − f (x) admette une limite l quand x tend vers +∞. Montrer que f (x) = l. x−→+∞ x lim Exercice 13 ´ Etudier les limites

u(pi,y) = -sin(y) u(x,pi) = -sin(x) u(0,y) = sin(y) En écrivant le développent de Taylor de u autour de (x,y) de u(x-h,y) et u(x+h,y) suivant la première direction du plan et de u(x,y-h) et u(x,y+h) suivant la second direction et en utilisant la bijection N définie par N(i,j)=i+(j-1)(n-1), le système (P) peut s’ecrire sous la forme matricielle A Uh +ε = b avec Uh , ε et b 3 vecteurs de taille ((n-1)^2 , 1) et A une matrice de taille (n-1)^2. IMPLEMENTATION DES MATRICES A ET B SUR MATLAB :

équivalent de y au voisinage de b. possède une solution maximale unique. b) Montrer que celle-ci est impaire et strictement croissante. c) Etablir enfin qu’elle est définie sur R. d) Déterminer la limite en +∞ de cette solution. e) On note ϕ la bijection réciproque de cette solution. Exprimer ϕ à l’aide d’une intégrale en formant une équation différentielle vérifiée par cette fonction. Exercice 7 [ 00437 ] [correction] On considère l’équation différentielle Exercice 3 [ 00432 ] [correction]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Relation d’équivalence

. . . . . . . . . 195 27. Comment compléter un carré latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 28. Le problème de Dinitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 29. Identités et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Théorie des graphes 225 30. Cinq-coloration des graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 31. Comment surveiller un musée

plus naturel serait alors de poser, du moins lorsque la série an converge, n∈N an = an . n= 0 Pour que cette définition soit satisfaisante, il faudrait qu’elle soit indépendante de la numérotation, c’est-à-dire que si s : N → N est une bijection, il faudrait avoir +∞ n= 0 an = +∞ n= 0 as(n) , pour toute suite (an ) telle que la série an est convergente. Malheureusement, il n’en n’est rien, comme le montre l’exemple suivant. Exemple (−1)n+1 · On sait que la série harmonique

r´sultat pr´c´dent aux quotients de deux polynˆmes. e e e o c) D´rivation de l’application r´ciproque e e Th´or`me 4. Soit f : I −→ e e strictement monotone et continue sur I. Soient J = f (I) et f −1 : J −→ I l’application r´ciproque de la bijection f : I −→ J. Si f est d´rivable en x0 ∈ I et si e e −1 f (x0 ) = 0, alors f est d´rivable en y0 = f (x0 ) et e (f −1 ) (y0 ) = 1 1 = . −1 (y )) f (x0 ) f (f 0 R D´monstration. Soit y ∈ J\{y0 }. Posons x = f −1 (y). e f −1 (y) − f −1 (y0 ) x