Bijection

Sourisse) Th´ eo 20.2. Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires Soit I un intervalle de R et f : I ! R une fonction continue. Alors f (I) est un intervalle. D´ ef 20.4. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I ` a valeurs dans J. f est une bijection de I dans J si et seulement si tout ´el´ement de l’espace d’arriv´ee J poss`ede un unique ant´ec´edent par f dans l’ensemble de d´epart I. Autrement dit : Rem. Il existe des fonctions non-continues telle que, pour I intervalle de R, f (I) reste

transformationsÊ: • homothŽtie de m•me centre. • homothŽtie et translation. • symŽtries. e) exemples d'Žtude de lieux gŽomŽtriques. Commentaires ¥ On consolidera les acquis du 1er cycle; ce sera l'occasion: - d'introduire la bijection et la bijection rŽciproque sans parler d'injection et de surjection - de justifier l'usage du vocabulaireÊ: transformation.. La projection orthogonale sera donnŽe comme contre-exemple de transformation. ¥ On entra”nera les Žl•ves ˆ utiliser les

d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires relatif aux fonctions continues et strictement monotones, pour tout nombre k de ] 0 ; +[pic][, l’équation : [pic]= k admet une unique solution sur k. On dit que la fonction exp réalise une bijection de R sur ] 0 ; +[pic][. Ainsi : exp x = exp y équivaut à : x = y (M2) Exemples : a) Résoudre dans IR l'équation [pic] [pic] [pic] éq à [pic] éq à [pic] On résout l'équation auxiliaire [pic] [pic] ou [pic] Alors [pic] éq à [pic]

a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur l’intervalle [a ;b]. Alors pour tout réel k entre f ( a ) et f ( b ), l’équation f (x) = k admet au moins une solution sur [a ; b]. Enoncer et démontrer le théorème de la bijection dans le cas d’une fonction f strictement croissante sur l’intervalle [a ; b]. Partie B 1. On considère la fonction f définie sur par f (x) = (2 – x) ex – 1. a) Déterminer les limites de la fonction f en – et + . b) Calculer

est dérivable sur IR, donc elle est continue sur IR. On peut donner le tableau de variations de g : on a g(2) = 1 - 2e-2  0,73 4°) g est une fonction définie, continue et strictement croissante sur IR. Donc g est une bijection de IR sur ] g(x) ;  g(x)[ = ]- ; 1[. On en déduit que pour tout k  ]- ; 1[ , l'équation g(x) = k a une solution unique dans IR. Comme 0  ]- ; 1[,  On sait que g(2) > 0 et g(0) = 1 - 2 = -1 donc g(0) < 0 La fonction

x → +∞ lim g = + ∞ +∞ b) Variations de la fonction g : g est dérivable sur R, et : g'(x) = (ex + x + 1)' = ex + 1 donc g'(x) > 0. g est strictement croissante sur R . c) g est dérivable et est strictement croissante sur R : g réalise une bijection de R sur f(R) = R. Par ailleurs : g(-2) = e-2 + (-2) + 1 < 0 et g(-1) = e-1 + (-1) + 1 > 0 L'équation g(x) = 0 admet une solution unique α comprise entre -2 et -1. À l'aide d'une calculatrice on obtient : g(-1,28) < 0 et g(-1,27) > 0, d'où −1,28

fonction ? ne s’annule pas sur ℝ∗ . V.E – Le but de cette question est de montrer ?(0) = 0. V.E.1) Montrer que si ?(0) ≠ 0, alors il existe ? > 0 tel que ?(0)?(2) = ?(1)?(?). V.E.2) Conclure. V.F – Soit ? = ? −1 : ? → ℝ la fonction réciproque de la bijection ? : ℝ → ? . Montrer que là où cela est défini (?(??))2 = ?(? 2 )?(? 2 ) V.G – On suppose dans cette question que la fonction ? prend des valeurs strictement positives sur ? ∩]0, +∞[. V.G.1) Montrer que la fonction ? = ln ∘ ? ∘ exp vérifie l’équation

est un ss-grp de GL(E) O+(E)est un ss grp de O(E) O-(E) n’est pas un ss grp de O(E) En fait u Є O-(E) v Є O-(E) ⇒u°v ЄO+(E) Plus généralement la regle des signes fonctionne Remarque : le choix d’une bon établit une bijection entre les ensemble de la colonne de gauche et ceux de la colonne de droite Opération et produit vectoriel dans Rn E=Rn produit scalaire usuel e bon canonique Rappel : il existe une unique application n-linéaire En →R Det (e1,e2,…

'] Le rapport de la similitude •k •C α= AK z −r 1 1 2 = K A = − i ⇒α = 2 2 2 AB zB − z A www.succes-assure.com EXERCICES - CORRIGES www.succes-assure.com A ' B ' = α AB = 2 z B − z A ⇒ A ' B ' = 10 2 Le point A étant fixe Déterminons la bijection complexe de S  f ( A) = A  f ( −2 ) = −2 −2a + b = −2  2a − b = 2   ⇒ ⇒ ⇒  4ia + b = 1 + i 4ia + b = 1 + i  f ( B) = K  f ( 4i ) = 1 + i   f :ℂ → ℂ 1 1  z ' →  − i  z −1 − i 2 2  a ( 2 + 4i ) = 3 + i ⇒ a = -b=2-2a b=2a-2

pour tout x2 dans E, f(x1)=f(x2) Pour tout x1 dans E, pour tout x2 dans E, x1≠x2 ⇒ x1=x2 44 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) … ET DE SURJECTION x ? z y=f(x) 45 Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que y=f(x) … ET DE BIJECTION f(x) x E x2 x1 f(x1) f(x2) F f bijective ⇔ f injective et surjective Pour tout y dans F, il existe un unique x dans E tel que y=f(x) 46 FIN DU PROLOGUE…