Bijection

= y. e e D´finition. Soit f : E → F . On dit que f est injective si et seulement si : pour tout e On dit que f est surjective si et seulement si : pour tout y ∈ F , il existe x ∈ E tel que f (x) = y. On dit que f est bijective (ou f est une bijection de E sur F ) si et seulement si : f est ` la fois injective et surjective. a  Exemple 1.2.5 La fonction f de R dans R qui ` x associe f (x) = x2 n’est ni injective, a ni surjective; sa restriction ` l’intervalle [0, +∞[ est injective. La fonction

f(x) − f(0) Or lim+ (−1 + ) ln x = −∞ et donc lim+ = 0. On en déduit que x→ 0 x→ 0 x x−0 f est dérivable en 0 et f ′ (0) = 0. 24. f est continue et strictement croissante sur ]0, e]. f réalise donc une bijection de ]0, e] sur ]f(0+ ), f(e)] =]0, e1/e ]. On note f−1 la réciproque de cette bijection. 25. f est continue sur ]0, e] et donc f−1 est continue sur ]0, e1/e ]. f est dérivable sur ]0, e[ et f ′ ne s’annule pas sur ]0, e[. Par suite, f−1 est dérivable sur ]0, e1/e [. Mais f ′ (e) = 0 et donc

pas un groupe. n'est pas un groupe. un groupe pour 15. Si G des bijections de A sur lui-même est la composition des applications (f, g) ∈ G × G −→ f ◦ g ∈ G. L'élément neutre de G est l'application identique IdA de A sur A. Si A possède au moins trois éléments, ce groupe n'est pas commutatif. est un ensemble. L'ensemble 16. En particulier, soit n ≥ 2 un entier et soit A = {1, 2, . . . , n} ⊂ N. Le groupe des bijections de A s'appelle groupe des permutations de {1, 2, . . . , n}, on le note

sur des univers différents suivant le protocole de choix utilisé. b. Une famille de parties de W appelées "événements" Il s'agit des issues discernables ou mesurables par l'observateur. Lorsque l'univers W est fini ou dénombrable (c'est-à-dire en bijection avec une partie de ), chaque partie de l'univers peut être considérée comme un événement.(1) (1) Cependant, si W a la puissance du continu (par exemple W = [0, 1]), on ne peut plus considérer chaque partie de W comme un événement (car certaines

(où 2 6= 0 comme Z=2Z); la réciproque de la propositon 1 est aussi vraie. 2/ Il y’a une autre manière de formuler la proposition 1, pour cela nous aurons besoin d’introduire quelques dé…nitions et notations. Notation : On note l’ensemble des bijections de [[1; n]] (où n 2 N ) dans lui même (appelées ensemble des Permutations de [[1; n]]) par Sn . 1 Exemples : 1/ Pour n = 1, S1 = fIdg. 2/ Pour n 2, décrire S2 et S3 : 3/ Parmi les permutations de Sn (n 2), on désigne celle qui laisse tous

le signe de sh (x) pour x e appartenant ` R. a ECRICOME 2003 Eco Page 2/ 5 3. D´terminer un ´quivalent en +∞ de sh(x). En d´duire l’allure de la courbe repr´sentative de e e e e la fonction sh en +∞. 4. Montrer que la fonction sh r´alise une bijection de R dans R e 5. Etudier les variations de la fonction ch. 6. Montrer que : ∀x ∈ R, ch (x) > sh (x) 7. Donner sur un m´me graphique l’allure des courbes repr´sentatives des fonctions ch et sh. e e 8. Etudier la parit´ de la fonction f . e 9. D´terminer

justification. Il y a 2 solutions : une sur [0 , 2.5] et une sur [2.5 , 4] puisque la fonction croît de 5 à 6.07 (arrondie) puis décroît de 6.07 (arrondie) à 5.84 (arrondie). Une démonstration plus rigoureuse ferait intervenir le théorème de la bijection à appliquer deux fois sur chacun des deux intervalles. 2.a) On admet, d’après l’énoncé, que la fonction R(x) est la recette correspondante en centaines de milliers d’euros au prix de vente unitaire du modèle de lunettes solaires. Nous avons vu que

mathématiques modernes L'idée que des mathématiques puissent être "modernes" semblait bouleverser des décennies d'enseignement, et des millénaires d'histoire des sciences. Apparaît alors un nouveau vocabulaire : ensembles, sous-ensembles, bijections, intersections, fonctions. Pour comprendre l'apparition de ces " maths modernes " remontons le cours de l'histoire. Consultons les ouvrages d'un certain Nicolas Bourbaki. Nicolas Bourbaki a publié en 1939 son premier traité de mathématique :

solution par un ensemble de gènes, c'est-à-dire un chromosome, sous un certain codage (binaire, réel, code de Gray, etc.), valeurs qu'on concatène pour obtenir une chaîne de caractères qui est spécifique à une solution bien particulière (il y a une bijection entre la solution et sa représentation codée On traite une population "d'individus", de solutions : cela introduit donc du parallélisme. L'évaluation de l'optimalité du système n'est pas dépendante vis-à-vis du domaine. On utilise des règles probabilistes

L es-M athematiques.net et en reportant ceci dans (4), on trouve la formule au rang n + 1. 1.4.5 Changement de variable d’int´ gration e Proposition 20 Soit f : I → R continue et ϕ : J → I un diff´ omorphisme, e c’est-` -dire une bijection telle que ϕ et ϕ−1 soient continˆ ment d´ rivables. a u e Dans ce cas, f (x) dx = F (ϕ−1 (x)) avec F (t) = f (ϕ(t)) ϕ (t) dt ( + C ) . Autrement dit, F ◦ ϕ−1 est une primitive de f . En terme d’int´ grales d´ finis, e e on a ϕ(b)