Bijection

sous-espace vectoriel stable par multiplication par X, et donc par n’importe quel polynˆ ome en X. Donc, un code lin´eaire C de longueur n est cyclique si et seulement si C est un id´eal de F2 [X]/(X n − 1). L’homorphisme de passage au quotient induit une bijection entre l’ensemble des id´eaux de F2 [X]/(X n − 1) et l’ensemble des id´eaux de F2 [X] qui contiennent (X n − 1). Puisque F2 [X] est principal, ce sont exactement les id´eaux engendr´es par les diviseurs (que l’on prend unitaires pour assurer l’unicit´e)

Isomorphisme ! La représentation graphique d’un graphe G n’est pas unique: Pour caractériser des structures qui sont identiques, on introduit l’isomorphisme de graphes. ! Définition: Deux graphes G et H sont isomorphes si il existe une bijection 
 φ: V(G)→V(H) (Il y a autant de sommets dans G et H et φ établit une correspondance 1-1 entre les sommets de G et de H) tel que (u,v) ⋲ G ⬄ (φ(u) , φ(v)) ⋲ E(H) (Les images de u et v sont reliées si et seulement si u et v sont reliées) !

Soit g la réstriction de g à l'intervalle  ;0 a) Pour tout x de  ;0 , g(x)= f(x). Comme f est continue et strictement croissante sur  ;0 , g est continue et strictment croissante sur cet intervalle. C'est donc une bijection de  ;0 sur            ;0)x(glim;)0(g);0(g x , et admet ainsi une réciproque g -1 de  ;0 dans  ;0 . b) Courbe ( C') de g'-1 sur la figure précédente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.12. Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Restreindre une fonction pour la rendre injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.13. Fonction réciproque . . . . . . . .

Donc f n’est pas deux fois dérivable en 0. Cependant : Soit . Soit f de classe sur I. Alors f admet en tout point a de I un DL à l’ordre n, qui est donné par la formule de Taylor–Young : Exercice : Soit . Montrer que f est une bijection de R dans R dont la réciproque est de classe . Déterminer . Déjà f est bijective, de classe et de dérivée ne s’annulant pas. Donc est de classe . Comme est de classe , elle admet un DL à l’ordre 3 en 0 : , et . Pour tout réel x, on

Dans cette question, f d´signe une fonction de N v´rifiant f (0) = 0 telle qu’il existe un r´el strictement positif e e e c v´rifiant : e ∀x ∈ [0, + ∞[ f (x) ≥ c a. Montrer que ∀x ∈]0, + ∞[ f (x) ≥ cx et en d´duire que f r´alise une bijection de [0, + ∞[ sur [0, + ∞[. e e b. Montrer que M (f ) = [0, + ∞[ et que : ∀x ∈ [0, + ∞[ f (f (x)) = xf (x) − f (x) c. Montrer que f est d´rivable et donner un lien entre (f ) et f . e Q 18 En utilisant les r´sultats de la premi`re partie

; exp(nx) = (exp(x))n = expn (x) n entier 4. Théorème 2 : Pour tout réel x , exp(x) > 0 Conséquence : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ¡ ( car (exp) ' = exp > 0 ) 5. Théorème 3 : La fonction exponentielle est une bijection de ¡ sur ] 0;+ ¥[ . Conséquences : L'image de 1 par la fonction exponentielle est unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x)

théorème à l’intervalle ouvert I =] a, b[. k doit alors être compris entre lim f ( x ) et lim f ( x ) x→a x →b • Lorsque k = 0, on pourra montrer que f ( a) × f (b) < 0. • Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car la fonction réalise une bijection de I sur f (I). • Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuité et la monotonie de la fonction. Exemple : Soit la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x3 + x − 1. Montrer que l’équation f ( x )

5,5 points Soit la fonction f définie sur [2,+∞[ par f (x) = x+x2-4 1. Montrer que f'x=1+xx2-4 pour tout x ∈ [2,+∞[. 2. Dresser le tableau de variation complet de f pour tout x ∈ [2,+∞[. 3. Montrer que f réalise une bijection de I = [2,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera. 4. On désigne par f-1 la réciproque de f. a) Déterminer le sens de variation de f-1 sur J. b) Déterminer f-1 2et lim+∞f-1 x. c) Calculer f (3) puis(f-1 )'5+3. d)

= n(n − 1)(n − 2)(n − 3) ... × 3 × 2 × 1 Par convention, on consid`re que : 0! = 1 e 1 2.2 La permutation Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N . Une permutation de E est un arrangement des n ´l´ments de E, et corresee pond a une bijection de E. ` 2.3 Le nombre de permutations Soit n ∈ N, et E un ensemble fini de cardinal n. Le nombre de permutations de l’ensemble E, ´gal a n!, repr´sente le nombre e ` e de fa¸ons de ranger dans un ordre quelconque les n ´l´ments de E. c ee