Bijection

ut = u . Montrer que : i) ut : (F , σ(F , F )) −→ (E , σ(E , E )) est continue. ii) ut : (F , σ(F , F )) −→ (E , σ(E , E)) est continue. 4) Montrer que u est surjective si et seulement si ut est un isomorphisme faible (c'est-à-dire que ut est une bijection bicontinue pour les topologies faibles- de F sur ut (F )). (Indication : Supposons que u est surjective, ut est continue pour les topologies faibles- d'après 3)ii), pour la continuité de (ut )−1 utiliser la surjectivité de u. Supposons que ut est

e 2. Soit {a1 , . . . , ap } une partie de Fn ´crite de sorte que ai < ai+1 . On pose bk = ak + 1 − k. Prouver que 1 ≤ b1 < b2 < · · · < bp ≤ n + 1 − p. 3. Soit Gp l’ensemble des parties ` p ´l´ments de {1, . . . , n + 1 − p}. Construire une bijection a ee n p de Fn sur Gp . n p 4. En d´duire la valeur de Kn . e 5. Application : au loto on tire 6 num´ros dans {1, . . . , 49}. Combien de tirages ne contiennent e aucune paire d’entiers cons´cutifs ? e Exercice 15 - Nombre de surjections

Mathématiques http://maths.educamer.org Page Powered by www.educamer.org Prépas Baccalauréat c) Calculer lim A(λ ) + λ →0 Deuxième Partie Soit la fonction h : [0 ; +∞[ → ]-∞ ; 0] f(x) x 7. Démontrer que h est une bijection. 8. Soit h-1 la bijection réciproque de h et (C') sa courbe représentative. ⎧ ⎪M' ∈ (C ') ⎪ On désigne par (Γ) l'ensemble des points N de P tels que : ⎨AM' = AN ⎪ ⎪mes AM , AN = π + 2kπ ; k ∈ Z ⎩ A étant le point de coordonnées (1 ; 1). ( ) a) Démontrer

; +∞[ suivant : x f (x) −1 f (x) −e−1 − 1 3. Sur 0 ; e−1 , f (x) −1 < 0. l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle. Sur l’intervalle e−1 ; +∞ , la fonction f est continue car dérivable et strictement monotone croissante : il y a donc une bijection de e−1 ; +∞ sur −e−1 − 1 ; +∞ . Conclusion : il existe un réel unique α de l’intervalle e−1 ; +∞ tel que f (α) = 0. La calculatrice donne successivement : 1, 7 < α < 1, 8, puis 1, 76 < α < 1, 77. 4. La question précédente montre que : - sur ]0 ;

d'ensembles f (A) = { f (x) ; x ∈ A} . Soit A ⊂ D f . L'image de A par f est l'ensemble : Soit B ⊂ R . L'image réciproque de B par f est l'ensemble : −1 f (B) = {x ∈ D f ; f (x) ∈ B} . Attention à ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection. Ici, on ne suppose rien sur f. 1.4 Restriction, prolongement Soit f une fonction définie sur I et g une fonction définie sur J. Si I ⊂ J et si f (x) = g(x) pour tout x de I , on dit que f est une restriction de g, ou que g est un prolongement

(croissance u + x→0 x compar´e des fonctions puissances et exponentielles). e √ 1 ln x ⇐⇒ 2x + ln x = 0 ⇐⇒ g(x) = 0 . 2 −x B.1.a. Pour x > 0, on a f (x) = x ⇐⇒ e−x = x ⇐⇒ −x = 1 > 0, x donc g est continue et strictement croissante, donc ´tablit une bijection de l’intervalle IR∗ e + sur son image. Comme lim g(x) = −∞ et lim g(x) = +∞, on a g(IR∗ ) = IR, donc + b. On ´tudie les variations de g : g est d´rivable sur IR∗ , avec g (x) = 2 + e e + x→0 x→+∞ ∃!α ∈ IR∗ g(α) = 0. + On v´rifie ` la calculatrice

Soit X un ensemble fini d’ensembles. Alors, il existe une fonction de choix sur X. D´monstration. Soit n le cardinal de X qui est donc en bijection avec ]0, n]. e Montrons, par induction sur n que X poss`de une fonction de choix. e 7 Pour n = 1, X = x = ∅. Donc, il existe un y ∈ X tel que f (x) = y ∈ X. Soit n > 1. Consid´rons h : [1, n + 1] −→ X une bijection. Posons X = e X\h(n + 1). Par l’hypoth`se d’induction, il existe une fonction de choix e f : X −→ x∈X x : x −→ f (x) ∈ x. Soit z = ∅ tel

Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M´thodes de r´solution num´rique d’´quations e e e e 4.1 Fonctions r´ciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 Bijection et bijection r´ciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Cas des fonctions r´guli`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e M´thode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e M´thode du point

strictement croissante sur I ou strictement d´croissante sur I). e e 2.5 Fonction r´ciproque e L’application f : I → J est une bijection de I sur J si pour tout y de J, il existe un unique x dans I tel que f (x) = y. Dans ce cas, on peut d´finir la fonction r´ciproque de f , not´e e e e −1 −1 −1 −1 f , par f (y) = x si f (x) = y ; f est alors une bijection de J sur I et (f ◦ f )(y) = y pour tout y de J, (f −1 ◦ f )(x) = x pour tout x de I. Exemples : • La fonction f (x) = x3 est bijective

a n g e m e n t n'est pas un arrangement de 11 éléments de E car ses éléments ne sont pas distincts. · Soit E = {s ; u ; c ; r ; e}. Les anagrammes du mot s u c r e sont des permutations de E. Remarque : une permutation de E correspond à une bijection de E. 3.2. Théorème Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier naturel tel que 0  p  n. · Le nombre d'arrangements de p éléments de E est : Anp = n(n - 1) ...(n - p + 1) = · Le nombre de permutations de E est : n An = n! n! (n