Bijection

. Ne pas confondre avec l’image réciproque f d’un ensemble. – Si F ⊂ E, l’injection canonique IE|F permet d’injecter F dans E. – Si f : E → F , on peut écrire f = i ◦ f ◦ s où i est l’injection canonique de im(f ) dans F , f : E/Rf → im(f ) la bijection canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les

xy = 0 =⇒ x = 0 ou y = 0 ⇐⇒ ∀x, y ∈ A, xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I ⇐⇒ I est premier. Pour la seconde assertion, on peut remarquer que A/I est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont {0} et lui-même. Puisque les idéaux de A/I sont en bijection avec les http://www.bibmath.net 4 Exercices - Anneaux : corrigé idéaux de A contenant I, on en déduit que A/I est un corps si et seulement si les seuls idéaux de A contenant I sont I et A, c’est-à-dire si et seulement I est maximal. Enfin, puisqu’un

exp(-t/ λ ) => N(t)/No= exp(-t/ λ ) A ce stade, il faut qu'on « extrait » t de l'exponentielle et cela est possible grâce à une autre fonction mathématique appelée logarithme népérien. En effet cette fonction plus communément appelée ln est la bijection réciproque de l'exponentielle. => ln(N(t)/No)=ln exp(-t/ λ ) (N(t)/No est strictement positif car l'ensemble de définition de ln est ]0; +∞[ ) => ln(N(t)/No)=-t/ λ => - ln(N(t)/No) x λ =t => ln(No/N(t)) x λ =t III, Ses Limites

demontre que la propriete est encore vraie au rang n ‰ 1 ; ™ on conclut en invoquant le principe de recurrence : la propriete est initialise et heredite donc elle est vrai pour tout n 0/Generalite: ™ La fonction log arithme neperien est la bijection reciproque de la fonction exponentielle. ™ La fonction log arithme neperien est definie sur ]0, ‰ 8[ qui a tout x positif associe un et un seul ln x dont l'exponentielle est x. 1/Proprietes: ln 1=0 ln e=1 e^ln x=x ln e^y=y ln (ab)=ln a‰ln

N0 . e 1. Soit m ∈ R+ , montrer que hm (d´finie ` partir de f comme dans le pr´liminaire) admet un e a e maximum qu’elle atteint en un unique r´el positif xm . On notera ϕ la fonction qui ` tout e a m ≥ 0 associe xm . 2. a. Montrer que f est une bijection de R+ dans R+ . b. Exprimer ϕ ` l’aide de f , en d´duire que ϕ est continue strictement croissante avec a e ϕ(0) = 0 et ϕ → ∞ en +∞. 3. Montrer que f ◦ est C 2 , pr´ciser les d´riv´es premi`re et seconde de f ◦ . e e e e 4. Montrer que f ◦ ∈ N0 et

Soient X et Y des ensembles et f : X −→ Y une fonction. On dit que f est injective (ou 1-1) lorsque (f (x) = f (y)) → (x = y). Si Imf = Y , on dit que f est surjective (ou onto). Une fonction qui est injective et surjective à la fois est dite une bijection. 2.0.18 Relations d'équivalence 2.2.2.0. Dénition Soient E un ensemble et R une relation sur E . On dit que R est une relation d'équivalence sur E lorsqu'on a : a. (x, x) ∈ R pour tout x ∈ E , b. si (x, y) ∈ R, alors (y, x) ∈ R, c. si (x

total. On pourra commencer par le cas où l’ensemble sous-jacent est fini. Théorème de Cantor-Bernstein Soient f : X → Y et g : Y → X deux applications injectives. Construire à partir de f et g une bijection entre X et Y. indication. Considérer les suites définies par X0 = X f (Xk ) ; voir que f est une bijection de Xk sur Yk . 1 g(Y), Xk+1 = g(Yk ) et Yk = 2 colles de mathématiques Formule du crible Soit (Xi )i I une famille finie de parties d’un ensemble fini X. Montrer que card i I Xi = J⊆I

l’infini, on se limite à une infinité dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est dit dénombrable si il existe une bijection entre E et l’ensemble N des entiers positifs: l’ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable, le segment [0,1] ne l’est pas, comme nous l’avons vu en première année. Finalement, ce point délicat: "on ne considère pas nécessairement tout sous

´quations e dϕ(t,x0 ) ϕ(0, x0 ) = x0 , = f (ϕ(t, x0 )) dt ψ(0, x0 ) = x0 , dψ(t,x0 ) = g(ψ(t, x0 )) . dt On dit que f et g sont topologiquement ´quivalentes (sous entendu : au voisinage du point critique 0) s’il existe un e hom´omorphisme T (bijection continue d’inverse continue) d’un ouvert de Rd contenant 0 dans un ouvert de Rd contenant e 0, envoyant 0 sur 0, et ε > 0 et τ > 0, tels que l’´galit´ suivante ait un sens et ait lieu pour x < ε et |t| < τ : e e T (ϕ(t, x)) = ψ(t, T (x)) . On dit

géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemples), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de