Bijection

⎞ ⎝ 2⎠ π π π = sin ⎛ ⎛ x + n -- ⎞ + -- ⎞ = sin ⎛ x + ( n + 1 ) -- ⎞ . ⎝ ⎝⎝ 2⎠ 2⎠ 2⎠ Conclusion : π ∀n ∈ ∗ , ∀x ∈ , sin( n ) x = sin ⎛ x + n -- ⎞ . ⎝ 2⎠ La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; +∞[, donc elle définie une bijection de [0 ; +∞[ sur f ( [0 ; +∞[ ) = ]0 ; 1]. Conclusion : ∀x ∈ [ 0 ; +∞ [ , f ( x ) ∈ ]0 ; 1 ]. 2) On a, ∀n ∈ , u n = f ( n ). Or ⊂ [0 ; +∞[, donc d’après 1) , ∀n ∈ , u n ∈ ]0 ; 1]. un 1 ». 48 Soit la propriété P n : « 0 – Hérédité : 0 ⇒ –1 –un

commencer par le cas où l’ensemble sous-jacent est fini. Théorème de Cantor-Bernstein Soient f : X → Y et g : Y → X deux applications injectives. Construire à partir de f et g une bijection entre X et Y . Indication. Considérer les suites définies par X0 = X \ g (Y ) , Xk+1 = g Yk et Yk = f Xk ; voir que f est une bijection de Xk sur Yk . 1 2 COLLES DE MATHÉMATIQUES Formule du crible Soit Xi i ∈I une famille finie de parties d’un ensemble fini X . Montrer que card Indication. i∈I Xi = J ⊆I

question 4 I.2.b. Permutations et arrangements Question: Combien y-a-t-il de façons de ranger 6 livres sur une étagère? Réponse: Par le principe de multiplication on a 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 6! Formulation mathématique : Il y a n ! = n⋅(n-1)⋅…⋅2⋅1 bijections (permutations) d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à n éléments. 1 2 . . . n livre 1à1 1 2 . . . n position Question : 12 personnes font parties d’un club de probabilistes. Combien y-a-t-il de façons de choisir : 1 président, 1

– 12x = 3x (x – 4) a pour racines 0 et 4 , et est positif à l'extérieur de ces racines. Donc f '(x) < 0 sur [ 0 ; 4 ] ⇒ f strictement décroissante sur [ 0 ; 4 ] f(0) = 6 { f(4) = –26 ⇒ 0 est entre f(0) et f(–26) On conclut avec le théorème de la bijection. Avec la fonction TABLE de la calculatrice, on obtient 1,107 < α < 1,108 . π . (Utiliser la calculatrice pour développer) 3 3 3 3 1 1 1 z' = e–iπ/3 (z – i) + i ⇔ z' = ( – i ) (z – i) + i ⇔ z' = ( – i )z– + i 2 2 2 2 2 2 0,1 2.3. Soit un réel positif

−2 −3 1 α2 2 3 MATHEMATIQUES 12 G 18 Bis AR S´rie S1-S3 e Epreuve du 1er groupe 7 7 /8 4. a. fn est continue et strictement croissante dans l’intervalle I =]1, +∞[ ; par cons´quent, sa e restriction a I est une bijection de I sur fn (I) =] − ∞, +∞[. Comme fn (I) contient 0, il existe un ` unique αn dans I tel que fn (αn ) = 0 b. Soit n ∈ N∗ . Pour tout x ∈ R \ {1}, on a Donc 1 1 1 1 fn−1 (x) = x + x2 + x3 + · · · + xn−1 + ln |x − 1| = fn (x) − xn

b ; on pose X = [a, b]. Soit f : X → R une fonction deux fois dérivable telle que : ∀x ∈ X, f (x) > 0. On dit que f est strictement convexe sur le segment [a, b]. a) Montrer que la dérivée de f établit une bijection du segment [a, b] sur un segment [α, β] (avec α < β). On notera u la bijection réciproque. b) Soit m un réel quelconque. En étudiant les variations de ϕm,f , montrer que m ∈ X o , puis déterminer le réel f o (m). [On sera amené-e à distinguer des cas ; pour m ∈ [α, β], on exprimera f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 21 22 22 22 2. Fonctions et applications 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . Injection, surjection, bijection . . . . . Image, image réciproque d’une partie Composition des applications . . . . . Ensemble des applications de E vers F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12. Déterminants 8 8 9 9 9 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. Ordre 2 et

∈ E, tel que f (→ v ) = f (A)P. Soit M ∈ E , tel que −−−−−−→ −−−→ −→ → → − − → − −→ AM = − v , donc f (→ v ) = f (AM) = f (A) f (M) = f (A)P, par suite, P = f (M). ii) Remarque 14 Soit E un espace affine. On note GA(E ) l’ensemble de toutes les bijections affines de E , alors (GA(E ), ◦) est un groupe, appelé groupe affine de E . 2.1.4 Points fixes d’une application affine Définition 15 Soient E un espace affine et f une application affine de E . On dit que A ∈ E est un point fixe de f , si f

compte de leur valeur exacte. On peut s’y aider à l’aide des diagrammes de Wen et des notions de mathématiques ensemblistes, bien connus de ceux qui ont pratiqués les maths modernes dès leur plus jeune âge... Entrent alors en jeu les notions de bijection, interjection, surjection... Attention ! Des relations différentes entre mêmes entités peuvent posséder des cardinalités différentes; c'est même souvent le cas. Exemple : La relation « loue » est de type n:m. La relation « réside » est de

multiples : entre l’abstrait et le concret, le lourd et le subtil, l’humain et le divin. A l’image des deux premiers actes, c’est une oeuvre de mer et de terre confrontées, interpénétrées l’une dans l’autre. L’oeuvre traduit de façon ostentatoire la bijection, la dualité, la tension bipolaire de cette existence. L’oeuvre, engagée dans l’autobiographie, est en même temps travaillée par les fables (le très important intertexte du mythe de Tristan et Iseult, par exemple), c’est-à-dire par des récits qui