Bijection

λ de module 1 tel que f (z) = λz pour tout z ∈ D. Exercice II.43 (Automorphismes du disque unit´ ). On utilise les notations (et le r´sultat) de l’exere e cice II.42. On appelle automorphisme de D un automorphisme analytique, c’est-`-dire une bijection a holomorphe dont l’application r´ciproque est holomorphe. Le but de cet exercice est de d´terminer e e tous les automorphismes du disque D. 45 EXERCICES (1) D´terminer les automorphismes de D qui fixent 0. e (2) Soient a, b ∈ C tels

1 L’ensemble des valeurs d’une variable discrète est fini où dénombrable (il est en bijection avec un sous-ensemble des naturels). L’ensemble des valeurs d’une variable continue inclut un intervalle non dénombrable1 [ ] ⊆ R. © ª∞ Exemple La variable  ∈ 2 =0 est discrète mais elle peut prendre une infinité de valeurs. 1 L’infinité du continuum est d’ordre supérieur à celle des nombres naturelles (aucune bijection n’est possible). 3 4CHAPTER 1. INDICATEURS DE TENDANCE CENTRALE (VARIABLES

vérifiant g(t0) = M/2 : • On vient de voir que g est strictement croissante sur • Par ailleurs, g est dérivable sur • De plus : g(0) = t →+∞ + +. +. M M < car C > 1. 1+ C 2 lim g(t) = M M ,M . 1+ C ¡ ¢ ¡ ¢     On en déduit que g est une bijection de [0, +∞[ dans Et comme     M M M , M , on en déduit bien l'existence d'un unique réel t0 tel que g(t0) = ∈ . 2 2 1+ C g' = a g 1 − g" = ag' 1 − + c. On a vu que : En dérivant : agg ' g 2g − = ag' 1 − M M M D'après 2.a., g est positive

dernière inégalité étant également vérifiée si n = 1. 1) La fonction q ϕ : R+ → R, a → j=1 rj m−a j est continue et strictement décroissante. De plus, q ϕ(0) = j=1 rj > 1 et ϕ(a) → 0 quand a → +∞. La fonction ϕ induit donc une bijection de R+ sur ]0, ϕ(0)], ce dernier intervalle contenant 1. Ainsi, q il existe un unique réel a > 0 tel que j=1 rj m−a = 1. j 2.a) Choisissons un réel strictement positif C tel que l’inégalité an ≤ Cna (1) soit vérifiée pour tout naturel

géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de

impair, ;xPn+1 est impair (produit de Pn+1 pair et de x impair) tout comme Pn . et donc par recurrence, pour tout n, Pn a la parite de n. 2. a) Si x 2 ;2 2] x 2 ;1 1], et il existe un unique 2 0 ] tel que 2 x = 2 cos , puisque la fonction cos est une bijection de 0 ] sur ;1 1]. On a alors P0 = 1 P1 ( ) = ;2 cos et pour tout n 0 : Pn+2 (2 cos ) = ;2 cos Pn+1 (2 cos ) ; Pn (2 cos ) Solution : 46 ESCP 99 - Oral Ceci est une relation de recurrence lineaire d'ordre 2, dont l'equation caracteristique

l’intuition. On remarquera cependant a a ∗ que dans le mod`le choisi pour Ω, D = {1, 2, 3, 4, 5}N est tr`s loin d’ˆtre vide, e e e c’est mˆme un ensemble tr`s « gros » du point de vue de la cardinalit´ : on peut e e e d´montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres r´els4 . e e Proposition 1.2 (Propri´t´s g´n´rales d’une probabilit´) e e e e e Toute probabilit´ P sur (Ω, F) v´rifie les propri´t´s suivantes : e e ee 1. P (∅) = 0. 2. Additivit´ e (a) Si A ∩ B =

1 0 x dx cos 2 (x ) π 3) J = ∫ 2 sin(x )e x dx 0 III - 3 Changement de variables : Théorème: Soit f une fonction continue sur [ a, b] , et g une fonction dérivable à dérivée continue sur [α , β ] ,  g (α ) = a réalisant une bijection de [α , β ] vers [ a, b] telle que :  .  g (β ) = b b ∫a alors : α f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt . β Preuve : Soit F une primitive de f sur [ a, b] . La fonction F ϕ est une primitive de ( f ϕ ) ϕ ′ sur [α , β ] et elle

conforme ` l’intuition. On remarquera cependant a a ∗ que dans le mod`le choisi pour Ω, D = {1, 2, 3, 4, 5}N est tr`s loin d’ˆtre vide, e e e c’est mˆme un ensemble tr`s « gros » du point de vue de la cardinalit´ : on peut e e e d´montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres r´els4 . e e Proposition 1.2 (Propri´t´s g´n´rales d’une probabilit´) e e e e e Toute probabilit´ P sur (Ω, F) v´rifie les propri´t´s suivantes : e e ee 1. P (∅) = 0. 2. Additivit´ e (a) Si A ∩ B = ∅, P (A ∪ B)

et place du terme "imaginaire". C'est également au cours du XIXème siècle que les nombres complexes commencent à être largement utilisés en physique. 1 il s'agit des nombres complexes -3- 2– Définition L'ensemble des complexes est en bijection avec 2. Ses éléments sont notés z = a+ib, pour a et b réels. a est la partie réelle, b la partie imaginaire. i est un symbole n'ayant d'autre but que de distinguer partie réelle Re(z) = a de sa partie imaginaire Im(z) = b. Les règles de calculs sont