Bijection

d’où la confusion entre nombre réel et point du plan ou entre vecteur et module du vecteur, · Il y a confusion dans la compréhension des suffixes et préfixes (inexistants en arabe) d’où la difficulté de distinguer entre surjection, injection et bijection LE PASSAGE DES MATHEMATIQUES EN ARABE AUX MATHEMATIQUES EN FRANÇAIS EN ALGERIE : DIFFICULTES ET AVANTAGES RACHID BEBBOUCHI Page 531 homéomorphisme et isomorphisme,… Les Syriens ont voulu introduire la notion de préfixe dans la langue arabe en

 7 3 tirages possibles. 1. k est le plus grand numéro du tirage donc il reste à choisir 2 boules parmi k-1 soit n donc card (F)=2 . L’application qui a A associe A est Soit f : P  AG A définie par f  X = X ∪ A est une bijection de P  A dans G A donc card GA =2 p k −1 2 tirages. 2. D'après le résultat du 1. il y a   23 4 56 7  2 2 2 2 2 2 tirages possibles donc : 2  3 4 5 6  7 = 7 2 2 2 2 2 2 3

→ hx est une bijection de H dans Hx. Parmi les théorèmes fondamentaux de la théorie des groupes nous citons le théorème de Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813) qui s'énonce comme suit : Théorème 3.3 Soit (G, ·) un groupe ni et soit H un sous-groupe de G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G et |G| = |H||(G/H)d | = |H||(G/H)g |. Démonstration : En écrivant G comme réunion disjointe des classes d'équivalence de (G/H)g , on a |G| = |x| et comme x = xH est en bijection avec H , alors

suffit de considérer la série Théorème 1.5.2 un une série absolument convergente. Alors pour toute bijection ϕ : N −→ N on a : Soit 1. uϕ(n) est absolument convergente. +∞ 2. +∞ un = n=0 uϕ(n) . n=0 Preuve. La démonstration se fera en deux étapes : 1) Etape 1. On suppose que un ≥ 0. Alors : un convergente ⇐⇒ un absolument convergente. Soit ϕ : N −→ N une bijection et posons vn = uϕ(n) . Vn = v0 + v1 + . . . + vn = +∞ un . Puisque la suite des sommes partielles

et le dénombrement peuvent être sources de beaucoup de difficultés. En effet, l’enfant peut rencontrer des difficultés dans les 4 principes nécessaires pour gérer la procédure de dénombrement, à savoir le principe de suite stable, le principe de bijection, le principe cardinal et le principe d’ordre quelconque. Par exemple, l’enfant peut avoir du mal à associer le dernier mot-nombre prononcé à la quantité. La progression La séquence que j’ai mise en place et présentée à l’oral se constitue de 6

1)2 f ′ (x) = 1 − 2 = = 2 ≥ 0 car x 2 + 1 > 0 et (x − 1)2 ≥ 0. x +1 x2 + 1 x +1 Ainsi, f est croissante sur R, donc a fortiori sur [0; 1]. De plus, f (0) = 0 et f (1) = 1−ln 2 ∈ [0; 1]. f étant croissante et continue sur [0; 1], elle réalise une bijection de [0; 1] sur [0; 1 − ln 2] ⊂ [0; 1]. Ainsi, si x ∈ [0; 1], alors f (x) ∈ [0; 1]. PARTIE B 1. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u n ∈ [0; 1] (on note cette propriété P n ) : • Initialisation. u 0 = 1 ∈ [0; 1] donc P 0 est

alors : f= I∪J I f+ J f 4.16 Proposition : (Inégalité triangulaire) Soit f est intégrable sur I. Alors |f | est intégrable sur I et on a : f ≤ I I |f | 4.17 Proposition : (Changement de variables) Soient f définie sur I et ϕ une bijection de classe C 1 d’un intervalle I sur I. Alors f est intégrable sur I si, et seulement si f ◦ ϕ × |ϕ | est intégrable sur I . Dans ce cas, on a : f= I I f ◦ ϕ × |ϕ | 4.18 Proposition : Soit f ∈ C 0 (I) positive, intégrable telle que est nulle

φ (a) 3φ (a) et donc ≤ φ (x) ≤ i.e. 2 2 2 ∃ h > 0 ∀x ∈ [a − h, a + h] , φ (x) < 0 tout comme φ (a) . (4.7) Tout ceci pour dire que ∃ h > 0 tel que φ a le mˆme signe que φ (a) = 0 sur [a − h, a + h]. e Sur [a − h, a + h], φ est donc une bijection et on peut d´finir φ−1 . e Comme (φ−1 ) (φ(a)) = 1/φ (a) et φ(a) = a, on a (φ−1 ) (a) = 1/φ (a). De (φ−1 ) (a) = 1/φ (a) < 1, on peut appliquer le a. de cet exercice ` φ−1 pour approcher a. a c. On suppose maintenant que |φ (a)| = 1. En prenant

outils et les concepts de base de cette discipline. I – Les origines de la comptabilité « On peut situer la naissance de la comptabilité dans une civilisation à partir du moment où celleci est capable d’utiliser la technique mathématique des bijections (un animal est représenté par un jeton ou une entaille dans une branche) »1 Apparaissent ensuite les systèmes de nombres avant que les techniques comptables ne se développent. En règle générale, parallèlement, s’affirment la puissance publique et

que la suite (un − ω)n∈N est géométrique, de raison a. Par suite, ∀n ∈ N un = ω + an . (u0 − ω) et (un )n∈N converge (vers ω) si et seulement si (|a| < 1 ou u0 = ω). 4) Récurrences homographiques ax + b d a avec c = 0 et ad − bc = 0 ; f est une bijection de R\ − dans R\ ; la cx + d c c définition de la suite (un )n∈N dans le cas général n’est pas triviale, il est bon de trouver F stable par f. . . Précisément, (un )n∈N est définie si et seulement si u0 n’appartient pas à l’ensemble des valeurs prises