Bijection

Sous-ensembles . . . . . . . 1.3. Loi de composition interne . 1.4. Ensembles finis . . . . . . . 2. Fonctions et applications 2.1. Applications . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Image, image réciproque d’une partie 2.3. Injection, surjection, bijection . . . . . 2.4. Composition des applications . . . . . 2.5. Ensemble des applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Morphisme

autrement dit, l’´quation ℓ(x) = 0 a dans I une solution unique e e e λ. Ce λ est alors l’unique ´l´ment de I tel que f (λ) = λ. ee 2. a. Voir graphique. b. La fonction f ´tant continue et strictement croissante dans I = [2, +∞[, r´alise une e e bijection de I dans f (I) = [f (2), +∞[ ; et puisque f (2) = 2 ln 3 ∼ 2, 19 est > 2, f (I) est contenu dans I. D´montrons maintenant par r´currence la propri´t´ : ∀n ∈ N, Pn avec Pn : ”Un ≥ 2” e e ee u Initialisation : U0 = 5, donn´e de l’´nonc´. Donc U0 ≥

logarithme en base a est la seule fonction f définie, croissante et dérivable sur R+* telle que : f(x.y)= f(x) + f(y) et f(a) =1 1.4.8 Fonction exponentielle La fonction logarithme étant continue et strictement croissante de ]0, +∞[ sur IR, est une bijection de ]0, +∞[ sur IR. Elle admet donc une fonction réciproque, définie de IR sur ]0, +∞[ , elle aussi continue et strictement croissante,. Définition : La fonction réciproque de ln est appelée fonction exponentielle et notée exp Propriétés : 1. Pour

tous les points de l'axe dont les absicces dièrent de 2π (mesure du périmètre du cercle) se superposent sur le même point M du cercle. On obtient ainsi une surjection de l'ensemble des points de l'axe sur l'ensemble des points du cercle, ou une bijection de l'ensemble des classes de réels modulo 2π vers l'ensemble des points du cercle C(O,1) . 3. On mesure positivement les angles orientés positivement, et négativement ceux orientés négativement. Trigonométrie - Chapitre 1 1.5 Page 6 Les fonctions

tous les points de l'axe dont les absicces dièrent de 2π (mesure du périmètre du cercle) se superposent sur le même point M du cercle. On obtient ainsi une surjection de l'ensemble des points de l'axe sur l'ensemble des points du cercle, ou une bijection de l'ensemble des classes de réels modulo 2π vers l'ensemble des points du cercle C(O,1) . 3. On mesure positivement les angles orientés positivement, et négativement ceux orientés négativement. Trigonométrie - Chapitre 1 1.5 Page 6 Les fonctions

Nous obtenons la condition standard concernant l’agent : il obtient la même utilité quel que soit l’état tiré par la nature. En effet, nous avons : v ′(wH − g(eH , θH )) = v ′(wL − g(eL , θL) ⇒ wH − g(eH , θH ) = wL − g(eL , θL), car v ′(·) est une bijection puisque v ′(·) est strictement monotone. En conséquence, v(wH − g(eH , θH )) = v(wL − g(eL , θL). 50 Du fait de la contrainte, le niveau d’effort obtenu par l’agent dans ces deux états est u¯. À présent, nous combinons les équations A et B, nous

désigner la longueur du mot de code Nous avons n=k+r. Les codes linéaires sont des codes où les bits du mot de code s’obtiennent à partir des bits d’information, avec les connecteurs logiques OU EXCLUSIF et ET. Nous avons ainsi une bijection linéaire entre les mots d’information et les mots de code. Mot d’ information: i=(i1,i2,……ik) mot de code : c=(c1,c2,……cn) , où ij, ,cj B={0,1} Nous partons donc de la chaîne i, qui a k éléments et, après avoir ajouté les bits

[correction] Soit f : [0, π/2] → R définie par Exercice 4 [ 01359 ] [correction] Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable. On définit une fonction g : [0, 1] → R par : g(x) = f (2x) f (2x − 1) x 2 f (x) = √ sin x + x Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle. si x ∈ [0, 1/2] sinon Application de la dérivation A quelle condition(s) la fonction g est-elle dérivable ? Exercice 10 [ 01356 ] [correction] Pour λ ∈ R

Î ]-¥, 0[ Þ x < 0 Þ j(x) > j(0) Þ j(x) > 0 Þ j(x) ¹ 0 x = 0 Þ j(x) = 0 x Î ]0, 1[ Þ 0 < x < 1 Þ j(0) < j(x) < j(1) Þ 0 < j(x) Þ j(x) ¹ 0 La seule solution de l'équation j(x) = 0 sur ]-¥, 1[ est bien x = 0. Sur [1, +¥[, on applique le théorème de bijection : · j est continue (car dérivable) sur [1, +¥[. · j est strictement décroissante sur [1, +¥[ · j(1) = 3e-1 - 1 > 0 (car 3 > e) et lim j(x) = -1 < 0 x ® +¥ En conséquence, il existe un unique réel a dans [1, +¥[ tel que j(a) = 0 En effectuant

bn sont premiers entre eux. Exercice 24 [ 01210 ] [correction] On note div(n) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n ∈ Z. Soient a, b ∈ Z premiers entre eux et ϕ : div(a) × div(b) → N définie par ϕ(k, ) = k . Montrer que ϕ réalise une bijection de div(a) × div(b) vers div(ab). Exercice 25 [ 01211 ] [correction] Soient a et b deux entiers relatifs tels que a2 | b2 . Montrer que a | b. Exercice 26 [ 01212 ] [correction] Soit x ∈ Q. On suppose qu’il existe n ∈ N tel que xn ∈ Z. Montrer