Bijection

(et)− F (−et). et on peut prendre comme densité la fonction fT dé�nie sur R par fT (t) = etf(et) + etf(−et), ∀t ∈ R 4. La fonction F est continue et strictement croissante (car sa dérivée est strictement positive). Par conséquent, elle réalise une bijection entre R et F (R) =]0, 1[. Notons FU la fonction de répartition de U . Alors, pour t ∈ R, FU (t) = P (F (X) ≤ t) . Donc si t ≤ 0, FU (t) = 0 et si t ≥ 1, FU (t) = 1. Pour t ∈]0, 1[, FU (t) = P ( X ≤ F−1(t) ) . En e�et, puisque F est bijective et strictement

g(x) = sin x. e x 2.3 2.3.1 Fonctions r´ciproques e Existence et premi`res propri´t´s e e e Th´or`me 5 Si f est une application continue et strictement monotone sur l’intervalle I, alors e e f (I) est un intervalle et f est une bijection de I dans f (I). Il existe alors une fonction not´e e −1 f ) d´finie de f (I) dans I et appel´e fonction r´ciproque de f telle que, pour tout x ∈ I et tout e e e y ∈ f (I) f (−1 )(y) = x ⇐⇒ y = f (x) Premi`res propri´t´s des fonctions r´ciproques

ix 1 − ix donc 2 1 2 ω= = , 1 − ix ix + 1 1 + x2 et l’on a bien trouv´ un nombre r´el. e e Si l’on note Ω le point d’affixe −1, A le point d’affixe ix et M le point d’affixe w, le poit A est l’intersection de la droite ΩM avec l’axe des y. Il y a une bijection entre le cercle unit´ priv´ du e e point Ω, et l’axe Oy. y 6 M A Ω O - x 4. Si z = x + iy, avec y > 0, on a |z − i|2 = x2 + (y − 1)2 Alors |z + i|2 − |z − i|2 = (y + 1)2 − (y − 1)2 = 4y > 0 . On en d´duit que |z + i| > |z − i|, et donc que

donc 2 1 2 ω= = , 1 − ix ix + 1 1 + x2 et l’on a bien trouv´ un nombre r´el. e e Si l’on note Ω le point d’affixe −1, A le point d’affixe ix et M le point d’affixe w, le poit A est l’intersection de la droite ΩM avec l’axe des y. Il y a une bijection entre le cercle unit´ priv´ du e e point Ω, et l’axe Oy. y 6 M A Ω O - x 4. Si z = x + iy, avec y > 0, on a |z − i|2 = x2 + (y − 1)2 et |z + i|2 = x2 + (y + 1)2 . Alors |z + i|2 − |z − i|2 = (y + 1)2 − (y − 1)2 = 4y >

de S. Il s’agit ici d’un sous-ensemble de S comportant n éléments distincts pour lequel l’ordre n’intervient pas. Le nombre de telles sous-populations est égal au nombre d’échantillons de taille n (sans remise) divisé par n ! qui est le nombre de bijections d’un ensemble à n éléments, soit : AN n N! card ( Ω ) = ------ = ---------------------------- = C N n! n ! (N – n) ! n (20) Ce nombre est aussi appelé le nombre de combinaisons de n éléments parmi N avec 0 n N . Ce sont les coefficients de

revenu ou norme. 2) La nécessité de conduire des politiques spécifiques, adaptées aux contraintes nationales Rodrick, One Economies Many Recipies : consensus sur quels sont les grands principes favorisant croissance et dev mais il y a aucune bijection entre ces principes et les institutions devant les faire respecter. Consensus de Washington : politique de libéralisation dans les PVD csq néfastes. On a confondu les principes éco et leurs formes institutionnalisées. Plaquement des institutions

Théorème de bijection ou corollaire du theorème des valeurs intermédiaires Si f est continue et strictement croissante sur [a; b ], f ([a; b ]) = [ f (a); f (b )]. Alors, ∀y ∈ [ f (a); f (b )], il existe un et un seul réel c ∈ [a; b ] tel que f (c) = y. L’équation f (x) = y admet une et une seule solution dans [a; b ]. Idem pour une fonction strictement décroissante. f ([a; b ]) = [ f (b ); f (a)]. Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle donné réalise une bijection... Démonstration

Repr´sentation plane e III.1 Le plan complexe D´finition e Soit P le plan muni d’un rep`re orthonorm´ direct (0, e1 , e2 ). e e L’application qui ` z = x + iy (x, y r´els) associe le point M de coordonn´es (x, y) est une a e e bijection de C sur P. l On dit que M est le point image de z, ou encore que z est l’affixe de M . On note M (z) pour d´signer simultan´ment M et son affixe z. e e Le plan P, muni de cette correspondance, est appel´ le plan complexe. e Le vecteur OM = xe1

Montrer que u est orthogonal ssi φ(u(x), u(y)) = φ(x, y), pour tout x, y ∈ E. En d´duire que si H est un sous-espace de E invariant e par u (ie u(H) = H) alors H ⊥ est stable par u. ii- Montrer que u est un automorphisme orthogonal de E ssi u est une bijection telle que ∀x, y ∈ E, φ(u(x), u(y)) = φ(x, y). (Ind. Il suffit de prouver la lin´arit´ de u, consid´rer pour e e e cela z = u(αx + y) − αu(x) − u(y) et montrer que pour tout t ∈ E, φ(z, t) = 0 iii- Dans le cas o` E est de dimension finie, montrer que

applications injective, surjective et bijective. Activité 7 Soit IR\{-1}→IR\{0} , x I→  > 1) a) Montre que f est une application. b) Montre que f est injective et surjective c) En déduire que f est bijective. d) Définir explicitement la bijection réciproque f-1 e) montre que fof-1(x)=x et f-1of(x) = x Activité 8 . Soit IR\{2}→IR\{5} , xI→ H>@I >@ 1) Montre que f est une application bijective. 2) Détermine l’image directe de l’intervalle E=[-3 ; 1] noté f([-3 ; 1]) Détermine l’image