Bijection

int´grales g´n´ralis´es. e e e e 5 5.1 Calcul des int´grales g´n´ralis´es. e e e e Changement de variable Th´or`me. Hypoth`ses. I est un intervalle de R d’int´rieur non vide. e e e e f : I −→ C est continue par morceaux, et ϕ : J −→ I est une bijection de classe C 1 . Conclusions. f est int´grable sur I si et seulement si ϕ .(f ◦ ϕ) est int´grable sur J et e e dans ce cas, f (x)dx = I J f (ϕ(t))|ϕ (t)|dt. D´monstration. e D’apr`s le cours sur la connexit´, ϕ ´tant continue et injective,

:An → An c → Dk (c). Pour simplifier, on suppose que le mˆeme alphabet est utilis´e pour les messages clairs et les messages chiffr´es, et que les cl´es de chiffrement et de d´echiffrement parcourent un mˆeme ensemble K. Alors, Ek doit ˆetre une bijection d’inverse Dk , autrement dit on doit avoir : Dk (Ek (m)) = m. La distinction entre l’algorithme et sa cl´e parait naturelle, pourtant elle a mis longtemps, au cours de l’histoire des chiffrements, `a ˆetre mise en ´evidence. Lorsque la cryptographie

2.2 Recherche de primitives 8 Soit H(t) une primitive de f (ϕ(t))ϕ (t), alors, comme t = ϕ−1 (x) car ϕ est bijective : f (x)dx = H(t) + C = H(ϕ−1 (x)) + C Exemples 1. 2. x dx =?, x ∈]0, ∞[ 1+x √ Posons t = 1 + x ∈]0, ∞[. Ceci définit une bijection entre x et t, x = ϕ(t) = t2 − 1. Comme dx = 2t dt : √ x t2 − 1 2t 2 1+x t3 √ dx = 2t dt = 2 (t2 −1)dt = 2 −t +C = (t2 −3)+C = (x−2) t 3 3 3 1+x √ x3 1 − x2 dx =?, Posons x = sin t, x ∈ [−1, 1] t ∈ − π2 , π2 , ainsi on obtient : 1 − sin2 t =

équivalente à 3 1 1 2 Arc tan 1 x 2 x 2 Arc sin ou f ( x) 2 Arc sin . Or la fonction f est 3 3 d’après la question 1. d) continue et strictement décroissante sur R. Elle est donc bijective de R sur 0, . D’autre part, la fonction Arcsin étant une bijection de [-1,1] 1 1 , on en déduit que 0 . 2 Arc sin 0, , dans et Arc sin 3 3 2 2 2 L’équation (E) a donc une unique solution. x 2 Arc sin b) On raisonne par implication en prenant la tangente des deux membres de l’équation 1 2 x Arc sin . Il vient

géométrie, l'analyse et les probabilités. Ils tendent à comprendre de manière qualitative ce qui s'assimile à une loi d'évolution. Les objets étudiés relèvent de l'analyse (équations différentielles par exemple), des probabilités (itération d'une bijection mesurable), ou de la géométrie (espaces homogènes). Le traitement qui y est consacré fait l'objet d'interprétations essentiellement de nature géométrique, tout en utilisant des outils avancés d'analyse fonctionnelle, de théorie des processus, de

avec une e expression plus simple en t. Par exemple, soit a calculer ` 1− x √ x dx, avec x ∈]0, 1[. √ √ √ e Ce 1 − x est embˆtant, alors on pose t = 1 − x. Ceci donne t2 = 1 − x et e x = (1 − t2 )2 . La fonction ϕ(t) = (1 − t2 )2 est bien une bijection d´croissante de ]0, 1[ sur ]0, 1[, et ϕ et ϕ−1 sont C ∞ . On a dx = ϕ (t) dt = −4(1 − t2 )t dt. On est amen´ ` calculer ea t (−4(1 − t2 )t) dt = 2 )2 (1 − t −4t2 dt = 1 − t2 1+t = 4t − 2 ln 1−t √ 1+ 1− 4− 4 1 − t2 dt d’o` u 1− x √ x

Compléments 3.3.1 Bijection Définition. Soit f une fonction définie sur un ensemble A, à valeurs dans un ensemble B. La fonction f est une bijection de A sur B si, pour tout y ∈ B, il existe un unique x ∈ A tel que f (x) = y. La fonction qui associe y à x est alors la bijection réciproque de f , notée f −1 . Remarque. Autrement dit, pour tout y dans B, l’équation f (x) = y possède une unique solution dans A. On a alors l’équivalence f (x) = y ⇔ x = f −1 (y). Théorème. Soit f une bijection de I sur J, ces

Compléments 3.3.1 Bijection Définition. Soit f une fonction définie sur un ensemble A, à valeurs dans un ensemble B. La fonction f est une bijection de A sur B si, pour tout y ∈ B, il existe un unique x ∈ A tel que f (x) = y. La fonction qui associe y à x est alors la bijection réciproque de f , notée f −1 . Remarque. Autrement dit, pour tout y dans B, l’équation f (x) = y possède une unique solution dans A. On a alors l’équivalence f (x) = y ⇔ x = f −1 (y). Théorème. Soit f une bijection de I sur J, ces

ouvert de E, et {f g} est un ferm´e de E. En effet, {f < g} s’identifie ` a l’image r´eciproque de l’ouvert R+ de R par rapport ` a l’application continue g − f . De mˆeme, {f g} s’identifie `a l’image r´eciproque du ferm´e R+ . D´ efinition 2.12 Une bijection f d’espaces topologiques est un hom´ eomorphisme si f et f −1 sont des applications continues. Deux espaces topologiques sont hom´ eomorphes s’il existe un hom´eomorphisme entre eux. † Attention : Le fait que f soit bijective continue n’implique

: xi yi . i∈I q xi i∈I yi i∈I yi i=1 Page 48 2.2 Sommes et produits 2.2.2 Chapitre 2 : Calculs algébriques Changements d’indice Soit I un ensemble fini, et (xi )i∈I une famille de nombres complexes. Soit J un ensemble fini, et ϕ une bijection de J sur I. Ainsi à chaque indice i de I correspond un unique j de J tel que i = ϕ(j). Effectuer le changement d’indice i = ϕ(j), c’est écrire (en posant yj = xϕ(j) , pour tout j de J) : – dans une somme : S = xi = i∈I – dans un produit : P =