Bijection

EXERCICE N°: Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct ([pic]. Soit a[pic] . On considère l’application de P-{O}[pic] P-{O} M (z)[pic]M ’(z’) défini par z ’.[pic]= a². 1) Montrer que f est bijective. Que peut-on dire de sa bijection réciproque ? 2) Quel est l’ensemble des points invariants par f ? 3) Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés et que l’on a : [pic]=a². 4) Soit (d) une demi-droite d’origine O. Déterminer l’image de (d)- {O}par f. 5) Soit (C) le cercle

(T) : y=– ex 5°) Voir annexe 6°) a. ▪ f est une fonction dérivable sur ℝ donc continue sur ℝ, lim f  x =∞ et lim f  x =0 et e ∈] 0 ;∞ [ ▪ x – ∞ x ∞ ▪ f est strictement décroissante sur ℝ donc, d'après le corollaire du TVI (ou th. de la bijection), il existe un réel  unique tel que f =e . b. Le seul point de   d'ordonnée e est le point noté  et on lit graphiquement x  =– 1 c. La calculatrice semble donner =– 1 . Le calcul nous montre bien que f  – 1=e . f =e ⇔ 22 2 e

3𝑥−1 = 91−2𝑥 2) 𝑥√𝑥 = (√𝑥) 𝑥 3) 2𝑥+1 + 4𝑥 − 15 = 0 4) 2𝑥 ≥ 3𝑥−1 Exercice 12 : Montrer que la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1 est une bijection de ℝ sur ]0; +∞[ et déterminer son application réciproque. Exercice 13 : On considère les fonctions 𝑠ℎ et 𝑐ℎ définies pour tout réel 𝑥 par : 𝑠ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 et 𝑐ℎ(𝑥)

e 99/160 D´nombrement e CS1 Outils math´matiques e pour l’informatique D´partement e SRC IUT de Saint-Di´-dese Vosges Plan Ensembles D´finitions e Op´rations e Ensemble fini Un ensemble E est un ensemble fini ` n ´l´ments s’il existe une bijection de a ee l’ensemble {1, 2, 3, · · · , n} des n premiers entiers strictement positifs sur E . Logique Proposition Op´rateurs e logique Pr´dicat e Arithm´tique e Relation D´nombrement e Arithm´tique e CS1 Outils math´matiques pour l’informatique

d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de R+ vers R. L’équation En possède alors pour solution unique xn = f −1 (n). b) Le tableau de variation de f −1 donne lim f −1 = +∞. Par suite xn → +∞. +∞ lim fn (x) = +∞ c) xn → +∞ donne ln xn = o(xn ). La relation xn + ln xn = n donne alors xn + o(xn ) = n et donc xn ∼ n. Exercice 52 : [énoncé] a) Le tableau de variation de f : x → x + tan x permet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante de ]−π/2, π/2[ vers R

propriétés algébriques, - étude de la fonction qui a x associe x : sens de variation, représentation graphique, comparaison des fonctions qui à x associent respectivement x, x, x2. Me8 Bijection d’une partie de R vers une partie de R : - définition, exemples et contre-exemples, - application réciproque d’une bijection : définition, exemples, propriétés, - cas des fonctions strictement monotones, continues, - applications : résolution d’équations, mise en évidence de l’existence d’une application réciproque

montant à ajouter pour rendre la position acceptable. Si P : LB( D, 'J) ---> IR est une mesure convexe de risque, nous posons alors A =A p = {X E LB(D,'J) 1 p(X) s: a} Nous obtenons alors la proposition suivante, qui nous donne une bijection entre les ensembles de positions acceptables et les mesures convexes de risque. Théorème 1.1. Sous les hypothèses énoncées précédemment, nous obtenons que PA = p. De plus, Ap est un ensemble de positions acceptables et il satisfait la propriété

: x g (x) g (x) −1 ′ −∞ − −3 0 −1 − e−4 + +∞ +∞ (d) Le tableau de variations montre que g garde un signe strictement négatif sur ]−∞; −3]. Sur [−3; +∞[, elle est continue (car dérivable), strictement croissante, et réalise donc une bijection de [−3; +∞[ sur [g (−3) ; +∞[. Comme 0 appartient à l’ensemble d’arrivée, l’équation g (x) = 0 admet une unique solution sur cet intervalle. Notons α cette solution. La réalisation d’une table de valeur montre successivement que 0 < α < 1, puis 0

(i) et ”meno de meno” (−i) ; il pose notamment que ”piu” et ”piu de meno” ne peuvent s’ajouter, ce qui constitue, selon Bourbaki, la premi`re apparition de la notion de e base. De fa¸on plus moderne, on consid`re l’espace vectoriel R2 sur R et la bijection de R2 sur C d´finie c e e par (a, b) → a + ib, i ´tant d´fini par i2 = −1 e e 2 2.1 Diff´rentes ´critures des nombres complexes e e ´criture cart´sienne ou alg´brique e e e Si z ∈ C, z s’´crit de fa¸on unique z = a + ib. a = Re(z) est la

"ça"-"rien"-"quelque chose". Or ces mots nouveaux employés seront aussi confus que ceux jusque là utilisés : "c'est juste des mots", "on a eu des mots", à tel point qu'il faut clarifier à nouveau la situation. "Pas des mots comme ça". L'absence de bijection entre le sens des mots de H2 et le sens des mots de H1 crée un décalage si énorme, si intarissable qu'on se demande si H1 ne se moque pas de H2 parce qu'il ne comprend pas, ou vice-versa. Ces décalages ont criblé le texte d'absences de croisement