Bijection

est conforme `a l’intuition. On remarquera cependant ∗ que dans le mod`ele choisi pour Ω, D = {1, 2, 3, 4, 5}N est tr`es loin d’ˆetre vide, c’est mˆeme un ensemble tr`es « gros » du point de vue de la cardinalit´e : on peut d´emontrer qu’il est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres r´eels4 . Proposition 1.2 (Propri´ et´ es g´ en´ erales d’une probabilit´ e) Toute probabilit´e P sur (Ω, F) v´erifie les propri´et´es suivantes : 1. P (∅) = 0. 2. Additivit´e (a) Si A ∩ B = ∅, P (A ∪ B) = P (A)

l’intuition. On remarquera cependant a a ∗ que dans le mod`le choisi pour Ω, D = {1, 2, 3, 4, 5}N est tr`s loin d’ˆtre vide, e e e c’est mˆme un ensemble tr`s « gros » du point de vue de la cardinalit´ : on peut e e e d´montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres r´els4 . e e Proposition 1.2 (Propri´t´s g´n´rales d’une probabilit´) e e e e e Toute probabilit´ P sur (Ω, F) v´rifie les propri´t´s suivantes : e e ee 1. P (∅) = 0. 2. Additivit´ e (a) Si A ∩ B =

l’intuition. On remarquera cependant a a ∗ que dans le mod`le choisi pour Ω, D = {1, 2, 3, 4, 5}N est tr`s loin d’ˆtre vide, e e e c’est mˆme un ensemble tr`s « gros » du point de vue de la cardinalit´ : on peut e e e d´montrer qu’il est en bijection avec l’ensemble de tous les nombres r´els4 . e e Proposition 1.2 (Propri´t´s g´n´rales d’une probabilit´) e e e e e Toute probabilit´ P sur (Ω, F) v´rifie les propri´t´s suivantes : e e ee 1. P (∅) = 0. 2. Additivit´ e (a) Si A ∩ B =

4 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 3 3.1 Prolongement par continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e Le th´or`me des valeurs interm´diaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e e e Th´or`me de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 e e Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . .

de n. ıne b. Montrer que, pour tous entiers relatifs j et k : aj = bk ⇒ j ∈ nZ et k ∈ mZ c. Montrer que l’application {0, · · · , n − 1} × {0, · · · , m − 1} → (j, k) → est bijective. Combien H contient-il d’´l´ments ? ee 4. Soit G le groupe des bijections de C dans C. D´terminer le cardinal du sous-groupe H de e G engendr´ par les applications r et s d´finies par : e e r(z) = jz , s(z) = z ¯ pour tout nombre complexe z. Interpr´ter g´om´triquement chaque ´l´ment de H. e e e ee H aj bk 49 ´

ou bien pg,h = ν(h ◦ g −1 ), suivant que la marche aléatoire est droite ou gauche. On peut vérifier que : � g∈G pg,h = � g∈G ν(g −1 ◦ h) = � ν(g −1 ) = g∈G � ν(g) = 1, g∈G car g �→ g ◦ h et g �→ g −1 sont des bijections de G dans G. Ainsi, une mesure uniforme sur G estune mesure stationnaire. 6 Marches aléatoires grandeur nature Développement Une expérience scientifique originale s’est déroulée le 16 octobre 2005 dans les rues de Toulouse. Environ 300

à la réalité de l'expérience vécue qui est parfois elle-même complexe. La philosophie recherche des significations précise et scientifique dans la mesure des possibilités et de la sensibilité de chacun. Par exemple les notions de continuité, de bijection ou de limite sont en mathématique des termes techniques et définis. Mais l'histoire du concept de limite, qui est liée à celle de l'idée d'infini est en réalité très riche et complexe. Il faut donc prêter une forte attention à l'usage contextuel

possibles … s( m) (t ) = a( m) .Ts.g(t ) Le plus souvent Ts.g(t) construit à partir de ΠT ou T/2 (t) Codes en ligne binaires : * * Intrus ? Cas des modulations sans mémoire • Relation entre les bits et les symboles : « mapping » Bijection entre les M groupes de n bits possibles B(m) et les M symboles possibles a(m) , m = 1…M. => ak ne dépend que de Bk , à l’instant k. • Formats classiques binaires (et sans mémoire) - Uni-polaire, ou polaire (différent de Bipolaire ! ) Exemple

directement les mots de 5 lettres contenant au moins une fois la lettre A ! Principe de la bijection : Une application d’un ensemble E dans un ensemble F est une bijection si à tout élément de l’ensemble d’arrivée correspond exactement un élément de l’ensemble de départ, i.e. si tout élément de F a un unique antécédent. Le principe de la bijection s’énonce alors ainsi : deux ensembles finis E et F en bijection ont le même cardinal. En pratique, lorsqu’on devra dénombrer un ensemble E, il pourra être

utilis¶es dans la th¶eorie de l'int¶egration de Lebesgue. On rappelle qu'un ensemble D est dit ¯ni ou d¶enombrable s'il est ¶equipotent µa une partie de N, c'est µa dire s'il existe une injection ' de D dans N. S'il est ¯ni il peut ^etre mis en bijection avec un ensemble du type f1; :::; ng oµu n est unique et est appel¶e nombre d'¶el¶ements de D. S'il est in¯ni alors il est ¶equipotent µa N : en e®et, on peut grace µa l'injection ' ci-dessus consid¶erer D comme une partie de N, et poser d1 =