Bijection

sur les fonctions de cet ensemble, en particulier, c’est un espace vectoriel. – Théorème des valeurs intermédiaires, minimum et maximum sur un segment, l’image d’un segment par une application continue sur ce segment est un segment, théorème de la bijection. – QC : Applications aux fonction trigonométriques réciproques. Exercices 1. Soit f une application définie sur R, continue en 0 et telle que : ∀x ∈ R, f (2x) = f (x) 2. Démontrer que f est constante sur R. (a) Soit f une fonction définie et continue

Si Ω est d´nombrable, rappelons que e ` e 1 dans un premier temps seulement, bien qu’en pratique ce soit toujours le cas 3 Y. Le Jan, S. Lemaire Notions fondamentales ω∈Ω P (ω) = supE∈Pf (Ω) ω∈E On v´rifie que pour toute bijection σ de N sur Ω, e P (ω) o` Pf (Ω) d´signe l’ensemble des parties finies de Ω. u e ω∈Ω P (ω) est la somme de la s´rie de e 1 2 |Ω| . terme g´n´ral P (σ(n)). Si Ω est fini et si tous les points ont la mˆme chance d’ˆtre tir´s, e e e e e (on

−→ x−→0 • Puisque f est décroissante, f admet en +∞ une limite finie −→ ou la limite −∞, donc g(x) − − − ∞. x−→+∞ Ceci montre : f (x) − − 1. −→ x−→0 Comparer avec l’exercice 3.6 c). D’après un théorème du cours (théorème de la bijection monotone), on déduit que g admet un zéro et un seul, donc f admet un point fixe et un seul. 4.10 Soit x ∈ R . Puisque Q est dense dans R, pour tout n 1 1 de N∗ , il existe rn ∈ Q tel que x − < rn < x + . On a n n −→ donc : rn − − x . Comme

(e1 , . . . , en ) et u un endomorphisme de E de matrice A dans la base B. Soit w l’application ⎧ Mn,1 (K) ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ → E ⎪ ⎨ x1 n ⎜ .. ⎟ xk ek ⎪ ⎝ . ⎠ → ⎪ ⎪ ⎩ k=1 x n w réalise un isomorphisme de Mn,1 (K) sur E qui induit une bijection de El (A) sur El (u) pour tout l ∈ K. Preuve On prouve sans difficulté que w est une application linéaire bijective. De plus, pour l ∈ K et X ∈ Mn,1 (K), X ∈ El (A) ⇔ AX = lX ⇔ u(w(X)) = lw(X) ⇔ w(X) ∈ El (u). ❑ ➤ Remarques • On déduit

et g : R+ × R → R dénie par g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ). Par composition, g est de classe C 1 . On a ∂g ∂f ∂f (r, θ) = −y (x, y) + x (x, y) ∂θ ∂x ∂y x=r cos θ,y=r sin θ Par surjectivité de l'application φ(u, v) = (3u − v, v − 2u) φ est une bijection de classe C 1 . Soient f : R2 → R une fonction de classe C 1 et g : R2 → R dénie par g(u, v) = f (3u − v, v − 2u), Par composition g = f ◦ φ est de classe C 1 sur R2 et ∂g ∂f ∂f (u, v) = 3 (3u − v, v − 2u) − 2 (3u − v, v − 2u). ∂u ∂x ∂y f est solution

Introduction Dénombrements (1) Probabilités (2) Variables aléatoires (3) Lois usuelles (4) TCL (5) Statistiques (6) Permutations. C’est le nombre de facons d’ordonner un ensemble à n éléments, et c’est n!. C’est aussi le nombre de bijections E → E. Exemple: le nombre de facons d’attribuer des chaises à 10 convives autour d’une table est 10! = 3628800 La fonction n! croit très vite. Une bonne approximation est la formule de Stirling: √ n! 2πn n e n . Frédéric Naud, département

culture. La cohérence est un processus ardu de confrontation, discussion et explication ; la cohérence n’est pas quelque chose de données qu’il suffit d’appliquer, mais une recherche permanente qui se construit toujours. Elle ne procède pas d’une bijection inéluctable avec quelques codes de règles ou de principes, mais plutôt d’une recherche sans fin. Enfin, le management utilise ses points forts plutôt que d’essayer de la changer. CONCLUSION Pour conclure sur l’utilité de cette culture d’entreprise

(2) (i) Il est facile de vérifier que B est linéaire et bijective. De plus, Ax + z ≤ [A] [x] + z ≤ [A] max( [x] , z ) + max( [x] , z ), [x] . d’où B(([x], z)) ≤ (1 + A ) ([x], z) . Ceci exprime la continuité de B. (ii) D’après (i), B est une bijection linéaire continue entre espaces de Banach ; le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16) montre que son inverse est continue. Donc B transforme un ensemble fermé en un ensemble fermé. Or, Im(A) = B(E/M ×{0}). Puisque E/M × {0} est fermé dans E/M

des entités associées. Une association ne peut avoir qu'une seule occurrence entre mêmes occurrences de ses individus. Les cardinalités Cette notion est très importante pour caractériser finement une Association Voir théorie des ensembles (bijection, surjection, injection) Exemple : Individus Personne et Adresse, Association Personne HABITE Adresse 2 Personnes différentes (ou plus) peuvent habiter à la même Adresse 1 Personne habite ou non (SDF) à une Adresse 1 Adresse peut être inoccupée

évaluera une telle distribution selon une “espérance mathématique modifiée” du type : u(x1) + ∑ ϕ(∑ p j) (u(xi ) - u(xi-1)) i= 2 j=i l l DB/JLF - Août 1996 MEDAF et Nouveaux Modèles de Décision dans le Risque - 12 - où ϕ est une est une bijection croissante sur [0 ; 1] (pour une justification de ce modèle on se reportera à Quiggin (1993)). Il est clair que les préférences neumanniennes correspondent au cas particulier où la fonction ϕ est la fonction identité, le modèle dual de Yaari (1987)