Bijection

a les bijections canoniques suivantes, lesquelles montrent que u admet aussi une image directe homologique dans D . HomD (A) (F, u∗ G) HomD(A) (iF, iu∗ G) HomD(A) (iF, u∗ iG) HomD(B) (u! iF, iG) HomD (B) (au! iF, G) . Supposons cette fois que u admette une image directe cohomologique dans D, et fixons un objet G de D (A). Si F −→ F est une flèche de D(B) dont l’image par a est un isomorphisme, on obtient le diagramme commutatif suivant (dont toutes les flèches se révèlent être des bijections). HomD(B)

simple de la stricte croissance de f . En effet, soit x, y ∈ I, x = y. Si e x > y, on a f (x) > f (y). Si x < y, on a f (x) < f (y). Dans les deux cas, on a donc f (x) = f (y), ce qui prouve l’injectivit´ de f . L’application f est donc bien une bijection de I dans J. e 4. On note g la fonction r´ciproque de f (g est donc d´finie de J dans I). On remarque tout d’abord e e que g est strictement croissante. En effet, soit x, y ∈ J, x < y. Si g(x) ≥ g(y), on a, par la croissance de f , x = f (g(x)) ≥ f

pour la somme de deux espaces vectoriels 1.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Théorème de la dimension pour les applications linéaires . . . . . 1.5 Annexe au Chapitre 1 : Application réciproque d’une bijection . 1.6 Les fonctions Arctg, Arccos et Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Chapitre 1 sous MUPAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 7 10 13 15 17 2

matrice carr´e a e e puisse ne pas ˆtre inversible. Si tel est le cas, alors l’application qui la d´finit e e ne sera pas inversible. En g´n´ral, une application partant d’un espace vers e e un autre est inversible si et seulement si elle est une bijection, ou bijective, dans une terminologie math´matique formelle. De fa¸on plus explicite, il faut e c qu’` chaque point de l’espace d’arriv´e de l’application corresponde un et un a e seul point de l’espace de d´part de l’application. Ensuite l’application

consid´erer la bijection f : R → [ −π/2, π/2 ] d´efinie par    arctan(x) f (x) = π/2   −π/2 x∈R x=∞ x= , et de dire qu’un ensemble O ⊂ R est ouvert si (et seulement si) f (O) est une ouvert de [ −π/2, π/2 ]. Cette fa¸con de d´efinir la topologie de R permet de voir directement que R est un espace m´etrique o` u une m´etrique d : R × R → R+ est donn´ee par d(x, y) = |f (x) − f (y)| , c’est-` a-dire qu’on transporte la m´etrique standard sur [ −π/2, π/2 ] vers R via la bijection f . ´ LA DROITE

expérience a 2 éventualités. Elle est notée B(n,p). Son espérance est alors E(X) = np, sa variance V(X) = npq. B. Variables aléatoires dénombrables sur un univers infini 1. Loi de Poisson Une variable aléatoire dénombrable(c’est à dire établissant une bijection avec ¼) X suit une loi de k −m m Poisson de paramètre m (m > 0) sis et seulement si : p(X = k) = e . k! Son espérance est E(X)=m, sa variance V(X) = k. C. Variables aléatoires continues 1. Définition Une variable aléatoire continue est une variable

difficulté de la traduction. Si l'exercice de la traduction est un exercice difficile, c'est que les langues ne sont pas de simples répertoires, où chaque mot désignerait un objet et un seul. La relation entre les mots et les choses n'est pas une simple bijection - un mot pour chaque chose, et une chose pour chaque mot. Si c'était le cas, la traduction ne poserait aucune difficulté: elle consisterait en une simple opération de substitution. Chaque langue serait comme un répertoire, équivalente et substituable

strictement croissante sur R+ , d’autre part, f : x −→ xn est continue sur R. De mˆeme sur ] − ∞, 0] f est continue et strictement monotone d’o` u f est une bijection. a)-D´efinition de la racine nieme √ Soit n∈ N ∗ , on appelle racine nieme et on note n x la bijection reciproque de la bijection d´efinie √ de R+ sur R+ qui `a x → xn . Cette bijection reciproque est donc la fonction qui `a x associe n x. b)- Propri´et´es ∀x ∈ R+ √ n √ √ √ √ √ √ x x p n √ n p n np n n P1)- x = x;

|z − w| pour tout z, w ∈ C. Remarque 1.1 Si z ∈ C est un nombre réel pur, alors son module |z| coïncide avec sa valeur absolue. Enfin, on peut donner une interprétation géométrique très simple de l’ensemble des nombres complexes C à l’aide de la bijection qui à tout nombre complexe z = a + ib associe le point M de coordonnées (a, b) du plan P muni d’un repère orthonormé direct. Le nombre complexe z = a + ib est alors appelé l’affixe du point M de coordonnées (a, b). L’origine O du plan P est l’image

. e G1 et H1 sont isomorphes s’il existe deux bijections θ : X → Y , τ : E → F telles que pour tout e ∈ E, ϕ(e) = xy ⇔ ψ(τ (e)) = θ(x)θ(y) Les accolades - graphe non orient´ - ou parenth`ses - graphe orient´ - n´cessaires dans les e e e e fonctions d’incidence ont ´t´ volontairement omises puisque la d´finition d’isomorphisme est la ee e mˆme pour les deux types de graphes . e exemple : G1 et H1 sont isomorphes. En effet, les bijections suivantes θ et τ v´rifient l’´quivalence e e ci-dessus