Bijection

précédentes. Ses éléments z = (x, y) sont appelés nombres complexes. Proposition 3.1.2 (R considéré comme une partie de C) L’application ϕ : x → (x, 0) est bijective de R sur K = {(x, 0), x ∈ R} et  ϕ(x + x ) ϕ(xx ) = ϕ(x) + ϕ(x ) = ϕ(x)ϕ(x ) Cette bijection permet donc d’identifier (algébriquement) le couple (x, 0) avec le réel x. De cette manière, on peut donc considérer que R est une partie de C. Définition 3.1.2 (le nombre i, notation cartésienne des nombres complexes) On pose i = (0, 1). On rappelle

Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e b) Montrer que Φ est une application lin´aire continue. Quelle est sa norme ? e c) Montrer que Φ est une isom´trie, c’est ` dire une bijection telle que ∀ x∗ ∈ ( 1 ) , e a ∗ ∗ Φ(x ) ∞ = | x | . d) Que d´duisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace norm´ e e e) Construire une isom´trie Ψ : C0 −→ e 1 ∞ ? 1 . Qu’en d´duisez vous pour l’espace norm´ e e ? Partie III

qu’aucun ´el´ement de G \ H ne soit d’ordre 4. Les 2-Sylow sont donc isomorphes au groupe de Klein Z/2Z × Z/2Z. De plus, deux quelconques B et B d’entre eux sont forc´ement d’intersection non triviale car sinon l’ensemble produit BB (qui est en bijection avec B × B par (b, b ) → bb ) serait de cardinal |B| |B | = 16 > 12. Il y a donc strictement moins de 3 × 3 = 9 ´el´ements d’ordre 2 dans G. Comme G \ H est de cardinal 9, il existe dans G \ H un ´el´ement c d’ordre = 2. Cet ´el´ement ne pouvant

Donc n’h´sitez pas ` taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous ! e a Arnaud Bodin Sommaire ` ALGEBRE 1 1 1 Nombres complexes 1 2 Logique, ensembles, raisonnements 6 I 3 Injection, surjection, bijection 11 4 Relation d’´quivalence, relation d’ordre e 14 5 D´nombrement e 15 6 Arithm´tique dans Z e 18 7 Polynˆmes o 23 8 Fractions rationnelles 28 II ANALYSE 1 29 9 Propri´t´s de R e e 29 10 Suites

1.10 Soit E et F deux ensembles et f : E → F . On dit que : 1. f est une injection (est injective) si pour tout (x, x ) ∈ E 2 , f (x) = f (x ) =⇒ x = x . 2. f est une surjection (est surjective) si ∀y ∈ F , ∃x ∈ E tel que y = f (x). 3. f est une bijection (est bijective) si f est une injection et une surjection, c’est-`-dire qu’` tout ´l´ment de F , il existe un et un seul a a ee ant´c´dent par f . e e Definition 1.11 Soit E, F et G trois ensembles, et soit f : E → F et g : F → G. On appelle fonction

entre eux. On note r1 , . . . , r p les entiers de l’intervalle [ [1..n] qui sont premiers avec n. ] a) Montrer que l’application f : {r1 , . . . , r p } → {r1 , . . . , r p } définie par : f (ri ) est le reste de la division de ari par n, est une bijection. p p b) En déduire k=1 ari ≡ k=1 ri (mod n), puis que a p ≡ 1 (mod n) [théorème d’Euler]. Exercice 18.12 Un éleveur possède un troupeau de n moutons, s’il le partage équitablement entre 3 de ses enfants, il en restera x (x ∈ [ [0.

de corr´lation lin´aire de (X, Y ), chap. 8, § 7 e e M : ensemble de mesures de probabilit´ de support N, chap. 9, § 1 e e ` M : classe des variables al´atoires dont la loi appartient a M, chap. 9, § 1 M(s) : ensemble des s´ries de puissance en bijection avec M, chap. 9, § 1 e GP (s) : fonction g´n´ratrice de la mesure de probabilit´ P, chap. 9, § 1 e e e e e e GX (s) : fonction g´n´ratrice de la variable al´atoire X, chap. 9, § 1 (Ω, A, µ) : espace mesur´, chap. 10, § 1 e F{·} : mesure de Lebesgue-Stieltjes

Tout x ∈ E se décompose d'une façon unique sur les vi , c.à.d ∀x ∈ E ∃!(λ1 , ..., λn ) ∈ Kn tel que x = n λi vi . i=1 Preuve : Proposition précédente. Proposition 4.4. : Soit B = {v1 , ..., vn } une base de E. Il existe alors une bijection : ϕB : E −→ n Kn (x1 , ..., xn ) x= i=1 x i vi −→ Les scalaires xi sont dits composantes de x dans la base B = {v1 , ..., vn }. Exemple 6. : Printemps 2010 Chap. III. EspacesVectoriels ` keme rang 16 1) Base

Déterminer la limite de f lorsque x tend vers  . 4. Montrer que f est bornée sur  . 5. Donner l’allure de Cf. 6. Montrer que f réalise une bijection de l’intervalle [0 ;  [ sur un intervalle J à préciser. 7. Pour tout y de l’intervalle ]0 ; 1], déterminer l’unique réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [ tel que f(x) = y. 8. Déterminer alors la bijection réciproque f−1. B. Calcul d’aire On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie par : F  x   ln x  x2  1 . Pour

curvilignes Soit f : E ⇢ R2 ! R une fonction continue sur E. L’ensemble des point de R3 : S = {(x, y, z) 2 R3 , (x, y) 2 E, z = f (x, y)} est le graphe de la fonction f sur E. L’application F : E ! S (x, y) 7! F (x, y) = (x, y, f (x, y)), est une bijection. Puisque les points de S sont donnés par des paires de nombres (x, y), l’ensemble S est une surface de dimension 2 dans R3 . Si on a un chemin : I ! E, alors automatiquement, on a un chemin F : I ! S sur la surface S. Si ⇢ x = x(t), y = y(t), est