Calculer G X Et étudir Son Signe Suivant Les Valeur

la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : – du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné – de l’angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente C OMMENTAIRES La définition du cosinus a été vue en quatrième. Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à partir du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : sin cos2 x +sin2 x = 1 et tan x = cosx . x On n’utilisera pas d’autre unité que

éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies de l’ensemble R des nombres réels : Rn = → R × · · · × R . On appelle − x un vecteur et xi ∈ R est sa ième coordonnée. On munit n fois → l’ensemble Rn des opérations suivantes. Pour tous vecteurs − x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , − → n y = (y1 , . . . , yn ) ∈ R et tout λ ∈ R, on définit la multiplication externe par → λ− x = (λx1 , . . . ,

05-49-45-40-34 18 mars 2008 R´ sum´ e e ´ Ce cours d’Automatique s’inscrit dans le cadre de la deuxi` me ann´ e de « cycle ing enieur » e e ´ de l’Ecole Sup´ rieure d’Ing´ nieurs de Poitiers (ESIP) et s’adresse aux etudiants de la sp´ cialit´ e e ´ e e ´ G´ nie Electrique et Automatique (GEA). Ces derniers ont d´ j` suivi un enseignement relatif a e ea ` l’´ tude des syst` mes lin´ aires mod´ lis´ s par une fonction de transfert (approche fr´ quentielle). e e e e e e Ce cours s’int´ resse aux mˆ mes syst`

droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ . +∞ x → +∞ Une fonction f a pour limite + ∞ en − ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à gauche ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ . −∞ x → −∞ Une fonction f a pour

choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants : — H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 », — H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 », — H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 », — C : « l’arbre choisi est un conifère », — F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ». a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation. b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur

Plan de cours Titre du cours : Calcul différentiel Code du cours : 201-NYA-05 Discipline : Mathématiques Programme : Sciences de la nature 200.B0 Préalable : TS ou SN 5e ou MAT 536 Préparatoire à : 201-NYB-05, 203-NYB-05 Durée :75 heures Pondération :3-2-3 Unités : 2 2/3 Code de la compétence 00UN Compétence Appliquer les méthodes du calcul différentiel à l’étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Entièrement Partiellement X Éléments de compétences concernés

les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2 ∞ b) 0 1 e− √ √ x 1 x dx c) 0 ln x dx d) 1 ∞ e) 0 ∞ ln x dx (1 + x)2 ∞ f) 0 π/2 xn e−x dx (n ∈ N) g) 0 arctan x dx 1 + x2 h) a dx (a > 0, r > 0) x(x + r) i) 0 cos 2xdx √ sin 2x 2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e ∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx x ∞ −t2 ∞ a)

les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ d) √ ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) e− √ b) 1 x x dx c) 0 ln x dx 0 1 ln x dx x2 ∞ ln x dx (1 + x)2 e) f) 0 1 ∞ g) π/2 dx (a > 0, r > 0) x(x + r) h) a 0 (n ∈ N) 0 ∞ arctan x dx 1 + x2 xn e−x dx cos 2xdx √ sin 2x i) 0 2. Montrer que les int´grales suivantes convergent :

peut prendre uniquement les valeurs noir ou blanc. C’est typiquement le type d’image que l’on utilise pour scanner du texte quand celui ci est compos´ d’une seule couleur. e 2. Les images en teintes de gris ` En g´ n´ ral, les images en niveaux de gris renferment 256 teintes de gris. Image a 256 e e couleurs, simplement chacune de ces 256 couleurs est d´ finie dans la gamme des gris. e Par convention la valeur z´ ro repr´ sente le noir (intensit´ lumineuse nulle) et la valeur e e e 255 le blanc (intensit´

« chute libre ». Une étude expérimentale est réalisée pour une chute verticale. Une autre étude est faite à partir d’une photographie stroboscopique d’une chute avec vitesse initiale. Des deux travaux pratiques qui suivent, le premier, classique, étudie un enregistrement vidéo d’une chute parabolique d’une balle, le deuxième utilise la simulation (avec le logiciel Interactive physics) pour aborder une situation plus difficile où le lanceur est lui-même en mouvement. I Découvrir et réfléchir