Charles Fourier

lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. SERIES DE FOURIER PLAN Préambule historique I : Espace préhilbertion des fonctions 2π-périodiques 1) Produit scalaire, norme 2) Famille orthonormale 3) Coefficients de Fourier II : Développement en série de Fourier 1) Convergence en moyenne quadratique 2) Convergence normale 3) Convergence simple et uniforme 4) Cas des fonctions T–périodiques Annexe I : Quelques

de son fondamental. En déduire que si on limite le développement en série de Fourier de cos( p t ) à sa valeur 2 2  1  cos(2 p t )   3  3) La tension à l’entrée du redresseur double alternance est maintenant le signal u2 (t ) . a) Montrer que le signal u3 (t ) à la sortie du redresseur peut se mettre sous la forme d’une somme de tensions sinusoïdales (On pourra utiliser le développement en série de Fourier de u2 (t ) limité à sa valeur moyenne et son fondamental). b) Représenter le spectre

II. Séries de Fourier Principe: Écrire une fonction 2  ­ périodique comme une somme de cosinus et de sinus: f  t = Formules à connaître par cœur : a0 2 ∞  ∑ an cos  nt  +b n sin  nt  n= 1 1 a0= ∫ f t dt  0 2 1 an= ∫ f tcos nt dt  0 2 1 bn = ∫ f tsin  nt dt  0 2 Propriétés très utiles : • • • • Si f est paire, alors bn =0 ∀ n∈ℕ Si f est impaire, alors an=0 ∀ n∈ℕ cosn =−1n ,  sin  n=0 et  einx=−1n La série de Fourier d'une fonction est unique

sur [0; [ , g (x) = 0 et g( ) = g( )= =2 = lim(g) , ; ] donc sur R par période. 1 . Donc g est Cpm sur une période donc sur R . 1 admet une limite …nie en 1 g est continue , 2 périodique Cpm sur R donc développable en série de Fourier sur R 3 2. 1. g est paire donc 8n 2 N , bn (f ) = 0 2. On a toujours avec la parité : Z 2 2 a0 (g) = x dx = 2 0 pour n > 0 : 2 2 2 =0 2 Z an (g) = on peut intégrer par parties : u = bien C 1 sur [0; ] an (g) = = On a donc : Sg

AVANT-PROPOS NOTATIONS ET ABRÉVIATIONS XI XIII PARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES CHAPITRE 1 • DÉFINITIONS ET REPRÉSENTATION DES SIGNAUX 1.1 1.2 Définitions Représentation des signaux 3 3 7 13 13 24 CHAPITRE 2 • TRANSFORMATIONS DE FOURIER 2.1 2.2 Analyse spectrale des fonctions périodiques Analyse spectrale des fonctions non périodiques VIII Table des matières CHAPITRE 3 • SYSTÈMES DE TRANSMISSION. FILTRAGE 3.1 3.2 3.3 Systèmes de transmission Filtrage Corrélation 31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 Transformation de Fourier 7.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . 7.2 Etablissement d’un cadre fonctionnel . . . . . . . . 7.2.1 L’espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 La transformée de Fourier dans L2 (R) . . . 7.3 Formules de la transformation de Fourier sur Rd . 7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 A la rescousse des équations différentielles

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

décomposable en une série de signaux sinusoïdaux si le signal est périodique, il peut s'exprimer sous forme d'une série de Fourier ; les termes de la série sont des signaux sinusoïdaux dont les fréquences varient comme multiples d'une fréquence de base f0 si le signal n'est pas périodique, il peut s'exprimer sous forme d'une intégrale de Fourier (extension continue de la série de Fourier) ; les signaux sinusoïdaux constituants ont des fréquences continûment réparties exemple 1 exemple 2 Puisqu'un signal

fonction f dénie sur R impaire et de période 2π vériant : f (t) = 1 pour t ∈ ]0; π[ et f (0) = f (π) = 0. 3. On pose pour tout entier naturel n non nul et t réel, 4 sin[(2k + 1)t] Sn (t) = . π k=0 2k + 1 n−1 Démontrer, à l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (Sn )n≥1 converge simplement vers la fonction f sur R. La convergence est-elle uniforme sur R ? 4. Sur un même graphique, uniquement à l'aide d'une calculatrice, tracer sur l'intervalle − ; π 2 la courbe de la fonction f

de traiter l’impact d’une salle sur un signal audio, dont les caractéristiques spectrales sont connues, et par la suite proposer des solutions basé sur nos connaissances en traitement du signal, tel que le produit de convolution la transformée de Fourier est ses propriétés, pour extraire l’information utile, pour avoir une meilleure qualité de service. Le système modélisant la salle et son effet et le spectre du signal d’entrée sont donnés par la figure en bas : La salle et le haut parleur plus l’oreille