Charles Fourier

échantilllons dure à peu près 2.2 s. Il est préférable de présenter un nombre réduit de données pour mieux les interpréter [pic] Présentation des premiers échantillons du signal Graduation de la transformée de Fourier discrète Si on effectue une transformée de Fourier de ce signal échantillonné on obtient un tableau de données complexes qui a la même taille que le tableau de données dans le domaine temporel, mais l’interprétation des abscisses (ou des numéros d’indice dans le tableau)

________________________________________________________________________1/2 Matière : Introduction aux télécoms TD :5 Exercice 1 : Quelle est la fréquence de Nyquiste pour chacun des signaux qui suivent : a) m(t )  5 cos(1000t ) cos(400t ) sin (200t ) b) m(t )  t  sin (200t )  c) m(t )    t   2 Exercice 2 : Soit le signal : m(t )  10 cos(2000t ) cos(8000t ) a) Quelle est la fréquence d’échantillonnage minimale admissible pour ce signal en le considère comme un signal

2 6 k k =1     Remarque : la méthode ci-dessus peut se généraliser afin de calculer IV. À l'aide des séries de Fourier Soit ƒ : → , 2π-périodique, impaire telle que : ∀t ∈ ]0, π[, ƒ(t) = 1 et ∀n ∈ , ƒ(n) = 0 , par : 2π ¡ 1. Calculer les coefficients de Fourier (trigonométriques) an et bn définis, pour tout n ∈ ¡ 2. Démontrer que la série Sp(ƒ) de Fourier de ƒ définie pour tout t ∈ Sp(ƒ)(t) = converge simplement vers ƒ sur 3. En déduire : . π (−1) p = 2 p +1 4 p =0

Mesures prises suite aux soupçons de fuite Les consignes données aux correcteurs de l’épreuve de mathématiques de la série S • • • La copie sera notée sur 20. L’exercice 1 ne sera pas pris en compte. La notation portera donc sur les 3 autres exercices. o L’exercice 2 sera désormais noté sur 6 points au lieu de 4. o L’exercice 3 sera noté sur 9 points au lieu de 7. o L’exercice 4 sera noté sur 5 points : cet exercice est en effet différent selon que le candidat a choisi ou non la spécialité

121 125 125 127 132 137 138 139 140 A Séries de Fourier et filtres numériques 1. La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Transformée de Fourier de fonctions périodiques de L2 (T ) . . . . . . .

Pour cela, il existe plusieurs méthodes : Les méthodes spectrale : elles sont fondées sur la décomposition fréquentielle du signal sans connaissance a priori de sa structure fine. La plus utilisée est celle utilisant la transformée de fourier, appelée Fast Fourier Transform (FFT). Tout son est la superposition de plusieurs ondes sinusoïdales. Grâce à la FFT, on peut isoler les différentes fréquences qui le composent. On obtien ainsi une répartition spectrale du signale

balayage de la base de temps) et de plus représenté par un tableau de valeurs discontinues : 1024 points de mesure régulièrement espacées dans le temps (échantillonnage). L’appareil effectue donc un calcul plus ou moins approché de transformée de Fourier et non un calcul exact des coefficients C. Il n’est donc pas surprenant que le résultat affiché ne soit pas toujours tout à fait conforme à la théorie. Dans tous les cas, il est fortement conseillé d’avoir à l’avance une idée assez précise du résultat

ONDELETTES ´ Rene Alt ´ Universite Pierre et Marie Curie 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05 e-mail: Rene.Alt@lip6.fr LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 1/6 Plan du cours Introduction: qu’est-ce qu’un signal Rappels sur la transformation de Fourier La transformation en ondelettes continues Les principales ondelettes Propriétés des ondelettes La transformation discrete en ondelettes La transformation en ondelettes pour les images Compression à l’aide d’ondelettes Notions sur la multirésolution

convolution, par : (x ¤ y)(t) ¢= Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ (1.12) On vérifie aisément que (x ¤ y)(t) = (y ¤ x)(t), c’est-à-dire que la convolution est commutative, et donc que : Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ = Z +1 ¡1 x(t ¡ µ)y(µ)dµ (1.13) Transformée de Fourier : Calculons TF[(x ¤ y)(t)]... TF[(x ¤ y)(t)] = Z +1 ¡1 µZ +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ ¶ e¡j2¼ºtdt Ou : TF[(x ¤ y)(t)] = Z +1 ¡1 Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)e¡j2¼ºtdµdt On écrit e¡j2¼ºt = e¡j2¼º(t¡µ)e¡j2¼ºµ et on obtient, en regroupant : TF[(x ¤

bruit.....................................................................................................18 TRANSFORMEE DE FOURIER CONTINUE.....................................................................20 2.1 Définition ........................................................................................................ 20 2.2 Propriétés de la transformée de Fourier............................................................... 21 2.2.1 Linéarité .....................................