Congruence sur les entiers

1.6.2 Propriétés éventuelles des relations binaires . . . . . 1.6.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . 1.6.5 Congruence modulo un réel strictement positif . . . 1.6.6 Division euclidienne et congruence modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 13 14 15 17 17 19 . . . . . . . . . . . . . . 21 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs communs à deux entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définition et premières propriétés du PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´mise pr´c´demment puis en d´duire une in´galit´ pour tout r´el x. e e e e e e e 4. A-t-on pour tout x r´el, ex e 3x ? Question 2 n d´signe un entier naturel. e On peut d´montrer la propri´t´ (P) : n3 − n est divisible par 3, en utilisant : e ee – Un raisonnement par r´currence. e – Un raisonnement par disjonction des cas et ´ventuellement les congruences. e – Un th´or`me du cours. e e 1. Choisir une des m´thodes et justifier la propri´t´ (P). e ee 2. Donner la d´marche utilis´e dans les autres raisonnements

seulement si 2|a. Pour tout a ∈ Z on a a|0 et aussi 1|a. Si a|1 alors a = +1 ou a = −1. (a| b et b|a) =⇒ b = ±a. (a| b et b| c) =⇒ a| c. (a| b et a| c) =⇒ a| b + c. 1 2 Théorème 1. Division euclidienne Soit a ∈ Z et b ∈ N \ {0}. Il existe des entiers q, r ∈ Z tels que a = bq + r et 0 r<b De plus q et r sont uniques. Nous avons donc l’équivalence : r = 0 si et seulement si b divise a. Exemple 2 Pour calculer q et r on pose la division «classique». Si a = 6789 et b = 34 alors 6789 = 34 × 199

de : Vincent Obaton ) e -2- 2007 – 2008 ´ Etude de N et Z Classe de Terminale S (Option Maths) Table des mati`res e 1 Quelques rappels 1.1 L’ensemble des entiers naturels (N) 1.1.1 D´finition . . . . . . . . . . e 1.1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . ee 1.1.3 Quelques axiomes . . . . . 1.2 L’ensemble des entiers relatifs (Z) . 1.2.1 D´finition . . . . . . . . . . e 1.2.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . ee 1.2.3 Quelques axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d'écrire les nombres dans le système décimal.  Tout nombre  entier en base 10 s'écrit :       où  avec   Système de base b :  Tout nombre  écrit en base  s'écrit dans la base 10 :       où  avec   Pour , on note  les chiffres après le chiffre 9.  Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.  On note  par exemple le nombre  en base 5 qui s'écrit :  en base 10.  Exemple :  Déterminer les entiers naturels  et  tels que   On doit écrire chacun de ces nombres

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Session 2005 16 17 18 19 20 21 22 France Antilles-Guyane Centres étrangers La Réunion Liban Polynésie Inde sept 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 Avril 2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Congruences ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ PGCD PPCM Nombres premiers Équations de Diophante ⋆ Géométrie Session 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nouvelle-Calédonie France / La Réunion Amérique du Nord Asie France Liban Antilles-Guyane Asie Nouvelle-Calédonie Liban

sur des idéaux démocratriques qu'il transmi par le biais de thérapies, de livres et de conférences. Ses dix dernières années ont été consacrées à l'application de ses théories dans les zones de conflit social national et il a voyagé dans le monde entier pour y parvenir. Par exemple en Irlande, il a réuni les protestants et les catholiques influents. Il est l'auteur de nombreux ouvrages et de nombreuses théories toujours utilisés de nos jours en développement personnel. | L'Approche centrée

instantanéité avec… Exemple des glissements temps-instant sur le temps authentique : les images de la chute de la statue de sdam Hussein ont été diffusées en temps réel dans le monde entier, les médias dans leur course à l’audience conquise par la vitesse de commentaire, ont relayé «en temps réel » dans le monde entier. L’impression d’authenticité procurée par l’instantanéité objective de la diffusion planétaire initiale. L’accélération du rythme des agitations instantanées a un effet secondaire :

Quelques théorèmes fondamentaux I) PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30)