Congruence sur les entiers

binaires Dénombrement & Dénombrabilité Chapitre 2 : Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi

suite de nombres pseudo-aléatoires. Avantages : a) méthodes économiques. b) la suite générée est reproductible. Désavantages : Présence d'auto-corrélation entre les éléments de la suite, difficile à éliminer. f:S→ S Soit S : espace d'états (entiers, ensemble fini, vecteurs, ...), un générateur est défini par : et l'état s évolue selon : si := f (si-1), i = 1, 2, 3, ... 8 L'état initial s0 s'appelle le germe. Chapitre VI - Génération de valeurs pseudo-aléatoires 2°) Les bons

Chapitre 18 Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . .

de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1. Nous savons que 82 ≡ −2 (11) , 83 ≡ 6 (11) 84 ≡ 4 (11) 85 ≡ −12 (11) ≡ −1 (11) donc 810 ≡ 1 (11) , d’après les règles usuelles sur les congruences. 2. Par ailleurs, 2002 = 10 × 200 + 2 donc 82002 = ( 810 ) × 82 et on a alors 82002 ≡

) sont des compléments de cours facultatifs. Le chapitre 0 rappelle les notions prérequises et les dénitions les plus importantes. Il n'est pas traité en cours Table des matières 0 Rappels 0.1 L'ensemble 0.1.1 0.1.2 0.2 0.3 5 N des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 8 10 12 14 16 18 19 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriété fondamentale de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 5 6 2 Construction du GNFS 2.1 Polynˆ omes irr´eductibles et corps de nombres . . . . . . 2.2 Anneau des entiers alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . 2.3 Friabilit´e et base factorielle alg´ebrique . . . . . . . . . 2.3.1 Norme alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Norme d’un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Id´eaux premiers

Conditionnement, indépendance .Notion de loi à densité à partir d’exemples .Intervalle de fluctuation .Estimation Mathématiques (spécialité) : -Arithmétique : .Divisibilité dans Z .Division euclidienne .Congruences dans Z .PGCD de deux entiers .Entiers premiers entre eux .Théorème de Bézout .Théorème de Gauss .Nombres premiers .Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers -Matrices et suites : .Matrices carrées, matrices colonnes

l’odorat, tout ce qui est comestible a une odeur. ‘A la recherche du temps perdu’ de Proust, les individus se rappellent des odeurs d’enfance. Etude de cas p20 ‘Souvenirs d’enfance’ : Phénomène d’ecphorie : résurrection d’un souvenir par pans entier déclenché par une odeur grâce à l’hippocampe. Théorie des ‘traces mnésiques multiples’ : l’hippocampe est un récupérateur de traces mnésiques. Il s’active grâce à l’odeur, les neurones de l’aire olfactive, puis auditive visuelle etc.. Il est capable

sans utiliser le théorème de Gauss, que pour tout entier naturel n, si 5 divise 4n alors 5 divise n. EXO 02. L’objectif est de déterminer, pour tout entier naturel n, le pgcd de 4n+1 − 1 et de 4n − 1 (toujours lire la dernière question !) Vu au BAC... (a) Déterminer le pgcd de 45 − 1 et de 46 − 1 . (b) Considérons la suite [d’entiers naturels – A ENLEVER] u définie par un +1 = 4un + 1 et u0 = 0 . Déterminer le pgcd de un et un +1 pour tout entier naturel n. 1 3 (c) Considérons la suite v

| Conjonction logique |  est vraie si et seulement si A et Bsont vraies (donc fausse si A ou B ou A et B sont fausses) | , si n est un entier naturel | | | « et » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ∨ | Disjonction logique |  est vraie quand A ou B (ou les deux) sont vraies et fausse quand les deux sont fausses. | , sin est un entier naturel | | | « ou » | | | | | Logique, voirConnecteur_logique | | | | ¬ | Négation logique |  est vraie quand A est fausse