Congruence sur les entiers

bourse (1792) du duc de Brunswick afin de poursuivre ses études. Il étudia à Göttingen de 1795 à 1798 et soutint sa thèse de doctorat : la démonstration du théorème fondamental de l'algèbre ainsi que l'invention de la théorie des congruences (relation pouvant unir deux entiers) l'année suivante à Helmstedt sous la direction de Pfaff. Illustre mathématicien (arithmétique, géométrie différentielle), physicien (importants travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel)

>0), une loi de densité f telle que Suivant la loi exponentielle: Arithmétique Division euclidienne dans ℤ Soit un entier relatif et un entier relatif non nul. Il existe un unique entier relatif et un unique entier naturel tels que: . C'est la division euclidienne de par où est le quotient et le reste. ( est la partie entière du réel .) Congruences Soit et deux entiers relatifs et signifie que divise par . PGCD: produit des facteurs premiers communs munis du plus petit exposant. PPCM: produit

89 p132 1- Il s’agit de résoudre Ici on verra que l’on ne peut pas multiplier par un entier qui serait l’inverse de 3 et qui permettrait d’isoler x (car 3 et 27 ne sont pas premiers entre eux) On peut procéder par disjonction des cas (mais il y a 27 cas!) (ou en « tatonnant » comme dirait Noah, mais un tatonnement systématique, qui permet de trouver toutes les solutions.) Avec la calculatrice, on peut programmer

Chapitre 1 Divisibilité dans  1.  Page d’ouverture • Problème 2 Soit n le nombre choisi par Coraline. n s’écrit ab en écriture décimale, où a et b sont des nombres entiers naturels compris entre 0 et 9. Si a  b : ( a + b ) + ab + a - b = 35, donc a(2 + b ) = 35. a et 2 + b sont diviseurs de 35. Les diviseurs positifs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. • a = 1 et b = 33 : impossible. • a = 5 et b = 5 : convient. • a = 7 et b = 3 : convient. • a = 35 et b = -1 : impossible. Si a 

pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde

précédente, Gauss est né avec un don pour les sciences, et notamment les mathématiques. A trois ans, Gauss rectifiait déjà les fautes dans les comptes de son père. Un peu plus tard, à l’âge de 8 ans son maître d’école lui demanda de calculer la somme des entiers de 1 à 100, ce qu’il fait très rapidement et très méthodiquement. Pour se faire, il additionna les termes 2 à 2, et n’avait plus qu’à multiplier 101 par 50. Déjà à 8 ans on peut remarquer une manifestation typique de l’esprit de Gauss, qui est de

les ´l`ves pr´e e e ee e parant les olympiades internationales de math´matiques. Le plan complet de ce cours est : e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´quences e Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´s e Polynˆmes ` coefficients entiers o a Fractions continues Cette premi`re partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres e forment quant ` eux la deuxi`me partie de ce cours. a e Contrairement ` la seconde

nombres ................................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45 3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47 A. Des algorithmes .............................................

Selon ce modèle, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 désigne le nombre de cétacés au 1er juin de l’année 2017 + 𝑛. On a donc 𝑢0 = 3000. 1. Justifier que 𝑢1 = 2926. L’effectif de cétacés au 31 octobre 2017 est de 3000 + 80, c’est-à -dire 3080. Entre le 1er novembre et le 31 mai, une baisse de 5 % a lieu, l’effectif au 1er juin 2018 est donc: 𝑢1 = 3080 − 5% × 3080 = 3080 × 0,95 = 2926 2. Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1

TD DE TS SPECIALITE : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A = n2 + n est-elle irréductible? 2n + 1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) . 5 2007 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 – 8 est divisible par