Continuité uniforme

Calcul intégral Chapitre 4 1er SRI&DSI I – Les primitives : Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle différent d'un singleton . I - 1 Primitive d’une fonction : Définition : Soit f : I → ℝ ,une fonction .On dit qu'une fonction F : I → ℝ est une primitive de f sur l'intervalle I si F est dérivable sur I et si : ∀x ∈ I : F ′( x) = f ( x) . Proposition 1: Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soit G : I → ℝ ,une fonction. Alors G est une primitive de f

Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2006 - groupement B Éléments de correction Exercice 1 A. Résolution d’une équation différentielle 1. L’équation caractéristique associée à (E0 ) est : r 2 − 3r − 4 = 0. Le disciminant ∆ = 9 + 16 = 25 est stictement positif. L’équation caractéristique admet alors deux racines rélles distinctes r1 = −1 et r2 = 4. Les solutions de l’équation différentielle (E0 ) sont alors les fonctions définies sur R par : y(x) = λe−x + µe4x avec λ et

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

d’intégration par parties : 1 1 I1 = 0 f 1 (x) dx = 1 1 0 1 × f 1 (x) dx = [x ln(x + 1)]1 − 0 u u I PP 1 0 x dx x +1 I 1 = ln 2 − dx + 0 0 dx x +1 = =ln |u| ln 2 − 1 + [ln |x + 1|]1 = 2 ln 2 − 1. 0 Par continuité et positivité de la fonction f 1 sur l’intervalle [0; 1], I 1 est géométriquement l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f 1 , les droites d’équation x = 0, x = 1 et y = 0. 2. a. Le segment d’intégration est [0; 1]. ∀n ∈ N×

fonction f d´finie sur R par : e e 1 f :x →2− 2 x . Avant de s’int´resser a une primitive de la fonction f , il faut s’occuper e ` de son ensemble de d´finition et de sa continuit´. Ici, nul n’est besoin de e e d´terminer l’ensemble de d´finition de f puisqu’il est donn´. De plus, f est e e e continue sur R (voir le cours “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f ade e e e met des primitives sur R . Soit F une primitive de f . On peut ´crire que : e (2x) = 2 1 1 =− 2 x x 1 1 =2− 2 2x + x x Une primitive

Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 41 Contenus Commentaires CompŽtences exigibles II. LIMITES On ne fera pas de théorie. Les explications resteront à un niveau intuitif. L'introduction des limites et de la continuité se fera sur des exemples. L'objectif est que les élèves sachent calculer des limites de fonctions usuelles. 1) Approche intuitive • Connaître et • On n'abordera que " la fonction f admet pour utiliser les cette variante de la limite un nombre réel

EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats) On considère les deux courbes (C1 ) et (C2 ) d’équations respectives y = ex et y = −x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR OFFICE DU BACCALAUREAT Téléfax (221) 864 67 39 - Tél. : 824 95 92 - 824 65 81 1/2 07 G 26 A 01 Durée : 04 heures Séries : S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5 Epreuve du 1er groupe MATHEMATIQUES Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR

g, d´finie par h(x) = a e √ 2) D´terminer les deux points stationnaires de f . e 1 + x2 , en a = 0 et ` l’ordre n = 2. a 3) Pr´ciser la nature de ces points stationnaires. e 4) En d´duire la limite de f en 0. e ˜ 5) On note f le prolongement par continuit´ de f en 0. e En reprenant les questions 2) et 3) ` l’ordre n = 3, ´tudier a e ˜ la d´rivabilit´ de f en 0. e e Exo 40. Soit f la fonction num´rique d´finie par : e e 3 f (x) = 3x4 + 4x3 − 2 x2 − 3x + 1. 1) D´terminer Df . e 6 Convexit´

Fonction exponentielle On a établi en activités deux implications réciproques entre deux propriétés (P) et (Q) pour une fonction f, non nulle définie et dérivable sur R. On se reportera pour les démonstrations du chapitre à celles effectuées en activités. (P) : f vérifie : f ‘= kf et f(0)= 1 (Q) : pour tous réels x et y : f(x + y) = f(x)[pic] f(y) On a en outre établi que le réel k en question n’est autre que : f’(0) L’existence de fonctions f vérifiant ces propriétés est admise.