Continuité uniforme

> Calcul intégral Séquence 3 – MA09 113 Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Généralités ......................................................................................................................................................... 117 Chapitre 2 > Intégration par parties .............................................................................................................. 125 Chapitre 3 > Intégrales et inégalités .........................

PRIMITIVES. 1. Définition de primitives et conséquences. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x)

Terminale S 3 F. Laroche Concours Fesic Correction mai 2006 Exercice 7 a. Vrai : 1 ( ) 1 ( ) ( ) cos sin sin cos cos 2 2 x x x f x e x x e x x e x ¢ = - - - - - - = - b. Vrai : ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 '( ) 1 cos 1 cos 2 2 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 n n n n n n n n n n f x dx f n f n e n e n e e e e p p p p p p p p p p p p p p + - - - - - + - - - = + - = - + + - = - - + - = + ∫ c. Faux : on vérifie aisément que f est une solution ; par contre

I.2.1 I.2.2 I.2.3 I.2.4 Continuité, différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule des accroissements finis,formule de Taylor Dérivées partielles des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 27 29 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23 section suivant I.2.1 Continuité, différentiabilité Documents

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

Chapitre 1 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1 Définitions et notations Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté Rn : * à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
 x1 x2 ... xn   Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R . Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn) 1.1 Exemple

INTÉGRALES IMPROPRES Prérequis : Fonctions numériques - Développements limités - Calcul intégral - Théorème de la limite monotone 1 Généralités Dans ce paragraphe K désigne R ou C. 1.1 Définition : Soient a ∈ R et b ∈ R ∪ {+∞}. Soit f : [a, b[→ K une fonction continue x par morceaux. On pose F (x) = a b f (t) dt pour tout x ∈ [a, b[. On dit que f admet une intégrale impropre si F (x) admet une limite quand x → b par valeurs inférieurs. On note alors a f (t) dt cette limite

■ Exercice 3 (7 points) Commun à tous les candidats PA RT I E A La température de refroidissement d’un objet fabriqué industriellement est une fonction f du temps t. f est définie sur l’ensemble des nombres réels positifs et vérifie l’équation différentielle : 1 f ′ ( t ) + -- f ( t ) = 10 . 2 www.annabac.com © H A T I E R 2009 La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps t en heures. m 1. Déterminer f ( t ) pour t 0 , sachant que pour t = 0 , la température de l’objet est

Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞ En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donc limX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞ or lnx=-ln1X=-lnX donc limx⟶0x>0lnx=0 « dérivabilité de lnx » La continuité est admise. On mq lnx est dérivable et que ln'x=1x Soit aЄℝ+ et a+h Є ]0 ;+∞[ ; Ta de ln entre a et a+h ⟶ Ta(h)=lna+h-lnah il suffit de montrer que limh→0Ta=1h On pose b=lna et k=ln(a+h), quand h→0 (a+h) tend vers a donc k tend vers b (car ln

Synthèse de cours (Terminale ES) Continuité, limites Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Exemples fondamentaux Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Le théorème des valeurs intermédiaires