Continuité uniforme

Le nombre e http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/le... Vous êtes ici : ACCUEIL Histoire des maths . Le nombre e Rechercher sur le site... Yvan Monka MENU ACCUEIL Cours, activités, exercices Maths et Tice Algorithmique Histoire des maths Curiosités, récréations Fonds d'écran Expositions d'élèves Jeu concours Le nombre e Un nombre qui ne connaît pas la célébrité du nombre Pi et pourtant on lui trouve de très nombreuses ressemblances. Comme

e e e tel que g([a, b]) ⊂ [a, b]. 3 Universit´ de Nice Sophia-Antipolis e Licence L3 Math´matiques e Ann´e 2008/2009 e Prenons a = 1/10 et b = 1. On a g(1/10) = e−1/10 ≤ 1 et g(1) = e−1 ≥ 1/10. On a bien g([1/10, 1]) ⊂ [1/10, 1] par continuit´ de g sur [1/10, 1]. Comme |g (x)| < 1 sur le ferm´ e e [1/10, 1] de ]0, +∞[, on peut appliquer le th´or`me du point fixe. Il existe l ∈ [1/10, 1] tel e e que l = g(l). Ordre de convergence Comme g (c) = −e−c = 0, la m´thode est convergente ` l’ordre

Corrigé du DS n° 5 – 28 février 2013 Exercice 1 (5 points) Pondichéry 2010 Partie A - Restitution organisée de connaissances : Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b]. On suppose connus les résultats suivants : Pour tous réels et  : . Si pour tout , alors . Montrer que : si pour tout , alors . et sont deux fonctions continues sur un intervalle donc est continue sur . Pour tout de donc donc et donc soit . Partie

Définition de la fonction dérivée   Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur .  On dit que la fonction f est dérivable sur  si elle  est dérivable en tout nombre réel  de . Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé  de f en  s’appelle la fonction dérivée de f. On la note :            Exemple   Soit f la fonction définie sur  par :  Soit  On a :        Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc  La fonction f est donc dérivable en , pour tout 

> Primitives Notions d’intégrale Séquence 6 – MA01 159 © Cned – Académie en ligne Chapitre 1 > Cours ............................................................................................................................................................................... 163 A Primitives d’une fonction continue sur un intervalle B A Exercices d’apprentissage (Série 1) C A Primitives et calculs d’aires D Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle

Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES INTEGRATION PAR PARTIES Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales : 1) primitivation par lecture directe dans une table 2) par transformations d’écriture 3) par intégration par parties 1. Primitivation par lecture directe dans une table Exemple calculer l’intégrale I = ∫ π/4 0 sin x dx cos 2 x sin x  π On note f la fonction définie sur  0,  par

3.1 Loi uniforme Définition 4. Soit X une V.A. réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P). On dit que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] si X admet pour densité de probabilité la fonction f définie par :    f (x) = 1 si x ∈ [a; b] b−a   f (x) = 0 sinon On note X → U([a; b]) On s’assure aisément qu’une telle fonction vérifie les propriétés qui font d’elle une densité de probabilité Propriété : La fonction de répartition de la loi uniforme sur [a, b] est

HEI 2 Année scolaire 2011-2012 COURS DE MATHEMATIQUES CHAPITRE 1 : COURBES La droite affine E1 est munie de son repère orthonormé canonique (O, i ). Le plan affine E2 est muni de son repère orthonormé canonique (O, i , j ). L'espace affine E3 est muni de son repère orthonormé canonique (O, i , j , k ). Pour tout entier n ∈ {1, 2, 3} on note En l'un quelconque des trois ensembles précédents I. Différents types de courbes. Nous ne donnons pas la définition générale d'une courbe dans En

Notons un (x) = f (x) Ainsi un (x) converge bien normalement sur [0, 1] (b) Pour tout x de ] − R, R[ donc de [0, 1] on a f 2 (x) = +∞ un (x) et comme la s´rie converge normalement (donc a e n=0 1 f 2 (x) d x = 0. fortiori uniform´ment) sur [0, 1] on peut int´grer terme ` terme entre 0 et 1. Il en r´sulte que e e a e 0 Or f 2 est positive et continue sur [0, 1]. Il en r´sulte que f 2 donc f est nulle sur [0, 1]. e (c) Il en d´coule, pour tout entier n, lim f (n) (x)

Correction Bac ES – Amérique du Nord – juin 2010 EXERCICE 1 (5 points) On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle [–2 ; 11], et on donne sa courbe 1) (0) est égal à 2 : réponse B En effet, la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 2. 2) (x) est strictement positif sur l’intervalle ]–2 ; 2[ : réponse C. En effet, la fonction étant strictement croissante sur ]–2 ; 2[, sa fonction dérivée positive sur ]–2 ; 2[. ci-dessous. sera