Continuité

[correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 . 1 Continuité et topologie Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 3 [ 01125 ] [correction]

2. D´eveloppement en s´erie enti`ere de f . 2.a. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction x −→ − ln(1 − x). 2.b. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonction f sur ]−1, 1[. 3. Prolongement par continuit´e de L en 1. +∞ xk pour tout x ∈] − 1, 1[. Rappeler le th´eor`eme utilis´e. 2 k k=1 On rappelle le th´eor`eme radial d’Abel : Soit une s´erie enti`ere de coefficients (an ), de rayon non nul R et de somme S. On suppose que la s´erie converge

d’intersection de la parabole avec l’axe des x vérifie 1 − x 2 + 3 x − 6 = 0 . Le discriminant de cette 4 équation du second degré est ∆ = 9-6 = 3. Il est positif : l’équation admet deux solutions x = 2(3 ± 3) = 6 ± 2 3 . 3 2) Limites et continuité Définitions : • Une fonction f admet une limite (finie) L en x0, si f(x) , avec x dans Df, se rapproche infiniment près de L lorsque x se rapproche infiniment près de x0. 1 • Si f admet une limite à gauche (quand x tend vers x0 par valeurs inférieures)

1 CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE 1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions : 1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ : Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle. Exemples : E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1 La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+

intermédiaires est introduit en Terminale S et ES lors du thème “Langage de la continuité et tableaux de variations” en Analyse. Ce théorème concerne les fonctions réelles continues et monotones sur un intervalle et donne l’existence de solutions d’équations. C’est donc un théorème important qui nécessite les pré-requis suivants : • Notions sur le limites • Notions sur la continuité (notamment la définition de la continuité d’une fonction sur un intervalle) • Notions sur les suites (dont le théorème

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de

EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit

1A 2010-2011 LES FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ Objectifs  Connaître et manipuler les notions de limites  Connaître la notion de continuité  Connaître les notions de limites et continuité à droite et à gauche Dans tout ce chapitre, a ∈ R c'est à dire que a ∈ [−∞; +∞]. I désigne un intervalle de R contenant a, ainsi a peut-être une borne de I . 1 Dénition de la notion de limite 1.1 Limite nie en a Dénition 1. Soit f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour

Calculer lim x,y0,0 x/x 2  y 2  2) Continuité a) Définition:Soit f une fonction définie sur une partie A de  n et à valeurs dans  p . On dit que f est continue en un point a appartenant à l’intérieur de A, si l’on a : lim xa f x  f a ce qui se traduit par :   0,   0, x  A et x  a    f x  f a  . b) Remarque: Grâce à la remarque II)1) b), étudier la continuité de f f1, . . . , fp au point a se ramène à l’étude de la continuité des fonctions composantes f 1 , . .

Analyser la continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle. ÉLÉMENTS DE BALISES DE CONTENU COMPÉTENCE 1 Continuité et discontinuité d'une fonction: approche intuitive 2 Définition de la continuité en un point et sur un intervalle Types de discontinuité d'une fonction Propriétés des fonctions continues (opérations algébriques, composition) Calcul de limite et fonction continue Continuité des fonctions algébriques Continuité des fonctions définies par morceaux Continuité des fonctions