Continuité

ETUDES D’INGENIEURS DE NABEUL Corrigé : Examen du Premier Trimestre Épreuve d’Analyse Fait le : 12-12-2011 Section : MP 1 point pour la cohérence du raisonnement, la clarté et la concision du développement. Problème N˚ :(12pt) 1 1. (1 .5pt)La continuité (0 .5pt) : – x → (x − 1) + 2 (x − 1) ln2 x = (x − 1) (x − 1) + 2 ln2 x = 0 est continue sur ]0, 1[ . – x → xx−1 − 1 = exp ((x − 1) ln x) − 1 est continue sur ]0, 1[ . D’où f est continue comme rapport et composé de fonctions continues sur ]0, 1[

droite, limite à gauche 24 Exemples 25 Passage à la limite dans les inégalités 26 Continuité d’une fonction Continuité en un point 27 y y O x0 O f est continue en x0 x O x0 f est discontinue en x0 Question : Repérer f (x0) dans le graphisme à gauche. x Définition mathématique 28 Continuité globale 29 Cas extrême de discontinuité 30 “Stabilité” de la continuité … 31 Prolongement par continuité d’une fonction en un point 32 Exemples 33 Dérivabilité Dérivabilité en un point

provocation et de l’audace dont la finalité est de mettre en question l’ancrage de certains lieux communs. Le refus du déterminisme biologique chez Marguerite Yourcenar me paraît illustratif en ce sens qu’il permet la négation de toute idée de continuité humaine. Le principe repose sur le déni de l’identité dont le caractère spécifiquement essentialiste est fortement récusé chez elle, et plus globalement sur toute idée de confinement dans des schémas de classification. C’est tout le projet d’Hadrien

continue sur un intervalle – Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)            Exercice 1 : montrer qu’une fonction est continue en un point Exercice 2 : dire si une fonction est continue sur un intervalle d’après sa représentation graphique Exercice 3 : préciser sur quel intervalle une fonction est continue (continuité des fonctions usuelles) Exercice 4 : étudier la continuité d’une fonction construite

Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Exercice 3 Soit f la fonction définie par : fx=x2-1x-1+1 Etudier la continuité puis la

fonction f d´finie sur R par : e e 1 f :x →2− 2 x . Avant de s’int´resser a une primitive de la fonction f , il faut s’occuper e ` de son ensemble de d´finition et de sa continuit´. Ici, nul n’est besoin de e e d´terminer l’ensemble de d´finition de f puisqu’il est donn´. De plus, f est e e e continue sur R (voir le cours “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f ade e e e met des primitives sur R . Soit F une primitive de f . On peut ´crire que : e (2x) = 2 1 1 =− 2 x x 1 1 =2− 2 2x + x x Une primitive

3. Déterminer la limite de en 1. de : En déduire un prolongement par continuité de la fonction sur est une fonction rationnelle dont le quotient des termes de plus haut degré est Donc , c'est-à-dire 1 . TS 2009.2010 – DST.01.CORRIGÉ Page 5 sur 14 fichier DST.01 2. Pour tout réel : Prolongement par continuité On a trouvé que . Par conséquent, on peut considérer le prolongement par continuité de la fonction 3. Limite de en 1 sur : On obtient une forme indéterminée du

 CHAPITRE 1 : Fonctions, dérivation et continuité I Rappels sur les droites: Remarque sur le calcul du coefficient directeur : Cas où on connaît les coordonnées de 2 points de la droite A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors a = ……………………………… Cas de la tangente à la courbe d’une fonction f au point d’abscisse x0 alors a = …………..………………………….. Exercice : a) Déterminer une équation de la droite (AB) où A (– 5 ; 8) et B (2 ; 6). …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………

Interpréter graphiquement les résultats obtenus . x +  x +  3 ) a ) Montrer que pour tout x  ] -  ; 0 [ on a : 1 - x 2 b ) Montrer que f est continue en 0 . 4 ) Montrer que f est prolongeable par continuité en 1 .  f(x)  1+x2. 5 ) a ) Déterminer le domaine de continuité de f .( Justifier la réponse ) b ) Sans résoudre l’équation f ( x ) = 2 montrer qu’elle admet une solution  dans ] 1.6 ; 1.7 [ . -2- 

de (vn )n∈IN et de (wn )n∈IN . 3. On consid`re la fonction f : IR → IR, telle que e f (x) = ln   1 − x . 1+x  (b) Etudier la parit´ de f . e (a) D´terminer l’ensemble de d´finition Df de f . e e (c) D´terminer l’ensemble de continuit´ de f et son ensemble de d´rivabilit´. e e e e (d) Etablir le tableau des variations de f en pr´cisant les limites aux bords. e (e) Tracer la courbe repr´sentative de f . e (f) Montrer que f est bijective sur des ensembles ` pr´ciser. En d´duire