Cos Et Sa Fonction

E XERCICE 1 1. On a ∆ = 2 3 − 4 × 4 = 12 − 16 = −4 = (4i)2 . L’équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z1 = 2. 2 3 + 2i = 2 3 + i et z2 = 3 − i. 2 5 points a. On a |z1 |2 = 3 + 1 = 4 = 22 ⇒ |z1 | = 2. En factorisant : 3 1 i = 2 cos π + i sin π . z1 = 2 6 6 + 2 π Un argument de z1 est donc . 6 π Comme z2 = z1 , on a |z2 | = 2 et un argument de z2 est − . 6 π Enfin |z3 | = 2 et un argument de z3 est . 2 b. Les points A et B sont les points communs au cercle de centre O et de 1 rayon

précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a , b] dites intégrables au sens de Riemann. On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle [a , b[ (resp. ]a , b]), b pouvant être +& (resp. a pouvant être -&), et qui ne sont pas nécessairement bornées. On considérera ensuite les fonctions définies seulement sur des intervalles ouverts ]a , b[ , éventuellement non

+ : facilité de mise en œuvre, rapidité d’exécution - : représentation davantage simplifiée de la réalité physique Modèle de simulation OSCAB (Outil de Simulation de Concept à Ailes Battantes) Entrées du modèle : lois de mouvement des ailes (fonctions arbitraires du temps) Sorties : position et vitesse du corps (6 ddl) Calcul local des grandeurs et efforts aérodynamiques (méthode 2D par tranches)  Nécessité de modèles aérodynamiques des effets spécifiques au vol battu Page Travaux antérieurs

de masse Mn telle que n n-1 La suite de Mn/ Vn a une limite (appelèe densité), si 0 P n 3 1 Mn lim n Vn V 0 n • Le paramètre est appelé densité du matériau au point P. • Si est définie en chaque point du milieu et si elle est une fonction continue de variables, le milieu est dit continu. • On peut définir la quantité du mouvement, l’énergie, etc.. de la même façon. 5 hypothèse d’homogénéité On admet que la matière est homogène P1 Pn Pi 0 les propriétés mécaniques

   1  2- Soit f est la fonction définie sur 0, par : f  x   x 2 1  cos    .  x    La courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i, j admet au voisinage de  :  a-  b- Une branche infinie parabolique  de direction la droite D O,i c- Une asymptote horizontale   Une branche infinie parabolique de  direction la droite D O, j   3- Le tableau de variation ci-dessous d’une fonction f : x 2   1

Géométriquement, U correspond au cercle de centre 0 et de rayon 1. 4.2 Exponentielle complexe En général, on dit : pour tout réel θ, on note eiθ = cos θ + i sin θ ; le problème est que l’on n’a pas défini ce qu’étaient les fonctions cos et sin ! Ici on définit d’abord la fonction exponentielle et on en déduit l’existence des fonctions trigonométriques ! Définition 4.2.1. Soit(zn )n∈N une suite complexe. On dit que cette suite converge vers un complexe z si xn = Re zn et yn = Im zn forment des

FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans C C Le conjugué de z est : z = x " iy ! ! Module de z : z = z z = x 2 + y 2 ! Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π] ! Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z) ! Conjugué de z : z = "e#i$ ! ! ! Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA ! Propriétés des modules z =z ;

degré Exercice 5 Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i, et 7 + 24i. Indication Correction Vidéo [000027] Exercice 6 1. Calculer les racines carrées de 1+i √ . 2 En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). 1 Indication Correction Vidéo [000029] Exercice 7 Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; z2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 ; √ z2 − 3z − i = 0 ; z2 −

par SB . Montrer que les deux triangles ABC et A1 B1 C1 ont mˆme centre de gravit´. e e Exercice 14. Centre du cercle circonscrit Soient a, b, c ∈ C, affixes de points A, B, C non align´s. Calculer l’affixe du centre du cercle circonscrit ` ABC en e a fonction de a, b, c. Exercice 15. Sph`re de R3 e Soient u, v ∈ C tels que u + v = 0. On pose x = 1 + uv , y = i 1 − uv , z = u − v . u+v u+v u+v 1) CNS sur u et v pour que x, y, z soient r´els ? e 2) On suppose cette condition r´alis´e. Montrer que le point

RUGOSIMETRE « 3D » Question n°1 (dix minutes): Proposer une analyse fonctionnelle par diagramme SADT de l’ensemble du système « prototype de rugosimètre 2D ». Indiquer le niveau « A-0 » (A moins zéro) présentant la fonction globale, puis le niveau « A0 » détaillant ses sous fonctions. On évitera les confusions entre entrées, moyens et contrôles. On fera clairement apparaître les boucles d’asservissement et l’élaboration finale de l’estimation de la grandeur physique mesurée. 1.a : Actigramme A-0