Cos Et Sa Fonction

Etudes de fonctions Exercice n 1: ˚ On donne la fonction f d´finie sur R par : f (x) = −x4 + 2x2 + 1. e On appelle Γ la courbe repr´sentative de f dans un rep`re orthonorm´ (O; ı, ) . e e e ´ 1. Etudier la parit´ de f . e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´finition. e e 3. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. e e e 4. Dresser le tableau de variations de f . 5. Tracer la courbe repr´sentative de f . e Corrig´ e Exercice n 2: ˚ Soit la fonction d´finie sur

automatisé a besoin d’énergie, qui subira de nombreux traitements pour être adaptés à la nature de l'action sur la matière d'œuvre. L’unité ADC traite donc de ces aspects qui peuvent être modélisés par les fonctions génériques qui s'appliquent sur la plupart des systèmes ; il s'agit des fonctions :  Alimenter ;  Distribuer ;  Convertir; CHAÎNE D’INFORMATION Grandeurs physiques, consignes Informations Messages Acquérir Traiter Communiquer MO Ordres Alimenter Distribuer

J − J+ = J 2 − Jz (Jz + 1) J + J− = J 2 − Jz (Jz − 1). (16) (17) (18) -1.4. Valeurs propres de J 2 et Jz Les valeurs propres de J 2 sont positives. En effet, J x , J y et J z sont des op´rateurs hermitiques, ce qui e implique que pour toute fonction ψ 2 ψ|Jx |ψ = Jx ψ|Jx ψ ≥ 0. (19) Ceci implique que J 2 est un op´rateur hermitique positif. J 2 , qui est une somme de tels op´rateurs, l’est e e x donc ´galement. e Notons |j m un vecteur propre de J 2 et Jz , de valeur propre j(j + 1) positif

T.Joffredo 1. GENERALITES SUR LES FONCTIONS Définition: On appelle fonction numérique f tout procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre y appelé image de x par f, et noté y = f(x). On dit également que x est un antécédent de y par la fonction f. L'ensemble, noté Df , des valeurs du nombre x pour lesquelles existent une image y par la fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f. Définition: La courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan est l'ensemble

Primitives des fonctions r´elles e Ce cours porte exclusivement sur la notion de primitive relative aux fonctions r´elles. e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une fonction r´elle est un op´rateur qui associe automatiquement a un e e ` nombre r´el, appel´ ant´c´dent, un autre nombre r´el, appel´ image. e e e e e e Une fonction est telle qu’un ant´c´dent n’a qu’une seule image, mais qu’une e e image peut avoir plusieurs ant´c´dents. e e 1 2 2.1 La th´orie e Une primitive d’une fonction r´elle e

. . . . . . . . page 5 2.1 Tangente à un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5 2.2 Dérivation des fonctions de R dans R2 (ou C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 2.2.1 Tangente et vecteur dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix Formules d'Euler : eix −e−ix sin x= 2i et    Formules toujours utiles à connaître :  sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b 3 2 Exercices : Linéariser   A=cos x   et   B=cos x sin x Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions II. Séries de Fourier Principe: Écrire une fonction 2  ­ périodique comme une somme de cosinus et de sinus: f  t = Formules à connaître par cœur : a0 2 ∞  ∑ an cos  nt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Suites et S´ eries de fonctions 2.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 S´eries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 S´erie enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Propri´et´es de la fonction somme d’une s´erie enti`ere 2.5 D´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS. 1. DEFINITION Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants ( I ) a ∈ R∗ , b ∈ R c ∈ R ay ′′ + by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION

l’ing´enieur I MAT-1900 – A10 C3 – Solutions 204. a) On reconnaˆıt que v et T sont fonctions de la variable t, en heures. Les observations ont lieu en un instant t not´e t = t0, par exemple. On a comme taux instantan´es (mod´elisation, id´ealisation math´ematique) : dv dt (t0) = 0.5 , dT dt (t0) = −1. Dans les repr´esentations graphiques, les “ ondulations ” indiquent qu’on ne connaˆıt pas la fonction et qu’on la repr´esente de fa¸con quelconque. t v t0 Pente 0.5 4 t T t0 –15 Pente