Cos Et Sa Fonction

OJ). cos x On a ainsi : M (cos x ; sin x). À savoir Réel x 0 cos x 1 sin x 0 π 6 π 4 3 2 1 2 2 2 π 3 1 2 2 2 3 2 Propriété Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a : t
−1 ≤ cosx ≤ 1 et −1 ≤ sinx ≤ 1  ; t
cos2x + sin2x = 1 ; cos( x + k × 2π ) = cos x . t
 sin( x + k × 2π ) = sin x 4 © Cned - Académie en ligne Séquence 6 – MA02 U 0 1 I Propriétés cosinus et sinus des réels associés à un réel x cos( − x ) = cos x  sin( − x ) = −sin x cos(π + x ) = −cos x  sin(π

produit par i est une rotation de π. Le produit par j = e2iπ/3 est une rotation de . 2 3 b) Forme trigonométrique : En vertu des formules (à connaître) : cos(θ + ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) – sin(θ)sin(ϕ) sin(θ + ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ) on a : (cos(θ + ϕ) + isin(θ + ϕ)) = (cos(θ) + isin(θ)) × (cos(ϕ) + isin(ϕ)) -5- de sorte que la fonction f : θ → cos(θ) + isin(θ) vérifie la propriété f(θ + ϕ) = f(θ) × f(ϕ). Il s'agit d'une relation fonctionnelle comparable à celle de l'exponentielle et il est convenu

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ...............................................................................13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ?.....................................13 2.Comment montrer qu'une fonction f est paire ?..............................................................14 3.Comment montrer qu'une fonction f est impaire ?..........................................................15 4.Comment étudier la parité d'une fonction f ?...............

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Diagramme de BODE des filtres du premier et second ordre 6.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle 6.1.4 Diagrammes de BODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Filtrage . . . .

(x + 1)2 Pour tout réel x, F’(x) = f(x) donc F est une primitive de f sur ‫ޒ‬. 2. G est dérivable sur ‫ޒ‬. G = uv avec u(x) = x et v(x) = cos(2x). G’(x) = u’(x) v(x) + u(x)v’(x) avec u’(x) = 1 et v’(x) = – 2 sin(2x). G’(x) = cos(2x) – 2x sin(2x). On n’a pas, sur ‫ޒ‬, G’(x) = g(x) ; donc G n’est pas une primitive de g sur ‫ޒ‬. F’(x) = 1. Dérivée d’une fonction de la forme x ‫( ۋ‬u(x))n et x ‫ ۋ‬f(u(x)) Activité. Une formule serait bien utile 1. f’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) avec v(x) = u(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle complexe . . . . . . . . II.1 Notation exp(i theta) . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Formules de Moivre et d’Euler . . . . . . . . . . II.3 Forme trigonom´trique . . . . . . . . . . . . . . . e II.4 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . III Repr´sentation plane . . . . . . . . . . . . . . . .

Représentation géométrique d'un nombre complexe Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, au nombre complexe z = a + bi , Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur V (a ; b). z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+ z = a + bi est l'affixe de M et de V . → M(a ; b) est l'image ponctuelle, v (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi. C'est la forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = |z| θ est un argument de

Chapitre III : Dérivation 1 1.1 Fonctions dérivables Nombre dérivé, fonction dérivée Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. f est dérivable en a si et seulement si l’une ou l’autre des deux propositions équivalentes est réalisée : f (a + h) − f (a) a une limite finie l en 0, ou encore – la fonction h −→ h f (x) − f (a) a pour limite l quand x tend vers a. que la fonction x −→ x−a – pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a)

! FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans C C Le conjugué de z est : z = x " iy ! ! Module de z : z = z z = x 2 + y 2 ! Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π] ! Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z) ! Conjugué de z : z = "e#i$ ! ! ! Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA ! Propriétés des