Cos Et Sa Fonction

l'inéquation cos(2x) > cos x − 1 La formule de duplication du cosinus permet de l'écrire sous la forme 2 cos2 x − 1 > cos x − 1 soit 2 cos2 x − cos x > 0 ou mieux π 2 cos x(2 cos x − 1) > 0 On n'a plus qu'un tableau de signes à dresser, disons dans [0; 2π] (parce que cos est périodique, de période 2π ) On sait que cos x est positif pour x ∈ [0; π [ et x ∈] 3π ; 2π] et négatif ailleurs, c'est-à-dire dans ] π ; 3π [ ; cos x est nul en 2 2 2 2 et 3π : 2 Le facteur 2 cos x − 1 est

et θ = ( u , OM) [2π] a2 → θ v b2 + On a alors r = ; a = r cos θ et b = r sin θ Si z est l'affixe de M, z = a + ib = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ) O → u a Remarque Soit M le point d'affixe x avec x ∈ IR , on a r = OM = | x | Définition Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR* . + On dit que z = r(cos θ + i sin θ) avec θ ∈ IR et r ∈ IR* est une forme trigonométrique de z. +

faudra attendre 1882 pour que Lindemann démontre la transcendance de ; prouvant du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Notations 1 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction pn dé nie par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx: =2 2 n 4 x2 Lemme Pour tout nombre réel K > 0; Kn = 0: n!+1 n! lim En effet, si on pose un = La suite (un )n K Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n

notion de limite et deux notions qui en d´ecoulent, celle d’´equivalence et celle de pr´epond´erance. Pour le moment on r´evise un peu les limites. Carte de visite de la limite Notre construction lim attend une fonction f et un nombre a et retourne (pas toujours) un r´eel. La fonction f n’est pas forc´ement partout d´efinie, le nombre a peut ˆetre infini, ainsi que la limite, ce qu’on r´esume en ´ecrivant : lim : (R → R⊥ ) × R → R⊥ (f , a) → limx→a f (x). Il y a une d´efinition avec des epsilons

principal d’approximation locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements

formules suivantes: cos(– α) = cos(α) sin(– α) = – sin(α) cos(π + α ) = – cos(α) sin(π + α) = – sin(α) cos(π –α) = – cos(α) sin(π–α) = sin(α) $! ' " # ) = sin(α) %2 ( cos % #! & + " ( = – sin(α) $2 ' $! ' " # ) = cos(α) %2 ( sin % cos & #! & + " ( = cos(α) $2 ' sin & Les huits formules basiques cos2(α) + sin2(α) = 1 (1) 1 (en divisant par cos2(α)) 1 + tan2(α) = (en divisant par sin2(α)) 1 + cotan2(α) = sin(a + b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a) (3) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b)

Kg en B. Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer AG en fonction de AB et placer le point G en représentant le tout sur un schéma. b. Dans les conditions de la deuxième expérience, on suspend 2 Kg en A et 3 Kg en B. P A G B A B G Séquence 3 – MA12 5 © Cned – Académie en ligne Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer AG en fonction de AB et placer le point G en représentant le tout sur un nouveau schéma. c. Toujours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Fonctions de la variable réelle C.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . C.2 Dérivation des fonctions à variable réelle C.3 Variation des fonctions . . . . . . . . . . C.4 Développements limités . . . . . . . . . . C.5 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles

nombre d’exercices corrig´s avec les e rappels de cours n´cessaires. Il est possible de couvrir tout ceci avec des ´tudiants e e de troisi`me ann´e d’universit´ sur un semestre en trois heures de Travaux e e e Dirig´s par semaine. e 1 1.1 Fonctions diff´rentiables, formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que

D´eriv´ees des fonctions usuelles Fonction D´eriv´ee k ∈ IR (constante) 0 x 1 xn , n ∈ IN, n = 0 nxn−1 1 x 1 xn √ x 1 x2 1 −n n+1 x 1 √ 2 x sin(x) cos(x) cos(x) − sin(x) Ensemble de d´erivabilit´e IR IR IR∗ IR∗ IR+ = [0; +∞[ IR∗+ =]0; +∞[ IR IR − sin(x) cos(x) tan(x) = Ensemble de d´efinition 1 + tan2 (x) = ex 1 cos2 (x) ex 1 x ln(x) IR \ π + kπ; k ∈ ZZ 2 IR IR∗+ =]0; +∞[ IR \ π + kπ; k ∈ ZZ 2 IR IR∗+ =]0; +∞[ Op´erations sur les d´eriv´ees u et v d´esignent deux