Cos Et Sa Fonction

Notation Soit , on note par le nombre complexe cos Un peu de trigo.. On considère un repere orthonormé R(o , i , j) et le cercle trignonometrique: On pose : Cos Sin Tan ○ Fonction sinus. Definie sur R, peridiodique de periode 2π, sin(-x)=-sinx (-> Impaire) Sin(2π-x)= sin x, sin (π +x)=-sin x Les nombres complexes Page 3 ○ Fonction cosinus Definie sur R, cos (x+2π)=cos x , cos (-x) =cos x (->paire) cos(π-x) = -cos x Propriétés : Fonction tangeante : Definie lorsque x Tan(-x) = -tan x impaire

d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1 sin x arctan x b) x → c) x → a) x → 2 x +1 (x + 1)2 (cos x + 2)4 Dérivabilité Exercice 1 [ 01354 ] [correction] Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes x2 − x3 a) x → b) x → (x2 − 1) arccos(x2 ) Exercice 7 [ 00737 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : Exercice 2 [ 00736 ] [correction] Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables

Exo7 Limites de fonctions 1 Théorie Exercice 1 1. Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en +∞. 2. Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une limite finie en +∞. Indication Exercice 2 √ √ 1+x− 1−x = 1. 1. Démontrer que lim x x→0 Correction Vidéo [000612] √ √ 1 + xm − 1 − xm . xn x→0 1 1 3. Démontrer que lim ( 1 + x + x2 − 1) = . 2 x→0 x Indication Correction Vidéo 2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim [000609]

Trigonométrie et problèmes • Énigme 1 La différence de latitude entre M et G est 15°32’44’’, c’est-à-dire environ 15,546°. La distance entre les deux villes en suivant le méridien est donc : 40 000 × 15,546 ≈ 1 727 km. 360 • Énigme 2 H A a) cos qF = B EF 3,2 = = 0,8. FG 4 b) Avec la calculatrice qF ≈ 37°. O I a) Avec le théorème de Pythagore : 1 3 KM2 = OM2 – OK2 = 1 – = donc KM = 13 . 4 4 2 M a pour ordonnée 13 . 2 1 3 2 2 2 b) HN = ON – OH = 1 – = donc HN

2) En déduire que cos BAC = √ et donner une mesure, à un degré près, de BAC. 5 paul milan 2/ 10 17 mai 2011 exercices Premi` re S e Exercice 6 : Règles de calcul En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-contre, calculer les produits scalaires suivants : −→ −− − −→ −→ − a) AB + AH · AB −− −→ −− −→ −→ − b) AH + HC · AB −− −→ −− −→ −− −→ −− −→ c) AH + HB · AH + HC Exercice 7 : Orthogonalité → → − − Dans chacun des cas suivants, calculer u · v en fonction de m et déterminer

- Règles opératoires sur les fonctions dérivables Soient ¦ et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l'intérieur de I. Démontrer que si ¦ et g sont des fonctions dérivables en a alors : 1. ¦ + g est dérivable en a. 2. ¦g est dérivable en a 3. Si g est non nulle au voisinage de a alors 1 est dérivable en a. g Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J

Séries de Fourier 1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On sait que: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x)

Exercice 2 (... de la linéarisation pour continuer ...) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = cos(x) × sin(2x) × cos(3x). 1. En utilisant les formules d’Euler, montrer que l’expression f (x) peut s’écrire f (x) = 1 6ix e − e−6ix + e4ix − e−4ix − e2ix + e−2ix . 8i 2. En déduire une écriture de f (x) sous la forme d’une somme de fonctions trigonométriques. 3. Donner alors une primitive F de la fonction f sur R.  Exercice 3 (... et pour terminer, un peu de géométrie !)

´ L’INTEGRALE DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX SUR UN INTERVALLE PC*2 22 octobre 2009 Introduction et conventions Dans tout ce cours, les lettres I, J d´signent des intervalles non r´duits e e a ` un point. Les fonctions consid´r´es sont ` valeurs dans K = R ou C. ee a Page 1/101 JP Barani L’int´grale e 22 octobre 2009 Page 2/101 JP Barani Table des mati`res e 1 L’int´grale des fonctions continues par morceaux sur un sege ment 1.1 Fonctions de classe C n par morceaux

triangles ODB et OCB, les côtés contenant O sont égaux, alors l'inégalité (*) sur les côtés opposés à O entraîne ≺ COB > ≺ DOB  OD ² + OB ² − DB ²   OD ² + OB ² − CB ²  (car ≺ DOB= arccos   et ≺ COB=arccos   et la 2OD × OB 2OD × OB     fonction arccos est décroisante sur [-1;1] ) Par construction on a ≺ AOC = ≺ AOD, donc ≺ AOC + ≺ COB > ≺ AOD + ≺ DOB = ≺ AOB ⇒≺ XOZ + ≺ ZOY >≺ XOY CQFD Remarque: si le trièdre est "aplati", c'est-à-dire si X,Y et Z sont coplanaires on peut avoir l'égalité