Cos Et Sa Fonction

Chapitre 4 Les dérivées et leurs applications 1 4 LES DÉRIVÉES ET LEURS APPLICATIONS 4.1 Les valeurs maximales et minimales 1. Une fonction f admet un minimum absolu en x = c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction sur la totalité du domaine de f, tandis que f admet un minimum relatif en x = c si f (c) est la plus petite des valeurs de la fonction pour tout x dans un voisinage de c. 2. 3. a) Le théorème des valeurs extrêmes. b) Voir la méthode de l’intervalle fermé. Un maximum

Chapitre 6 Chapitre 6. Intégration 15 9 –3= . 2 2 Activités et applications 2. A = Ig – If = 1. Intégrale d'une fonction continue et positive 3. a) h(x) = – x2 + x + 2. On vérifie que les racines de – x2 + x + 2 sont – 1 et 2. Donc, h(x) = – (x + 1)(x – 2). D’après les règles de signe des polynômes du second degré, h(x) у 0 pour tout x ∈ [– 1 ; 2]. 2 2 x3 x2 b) h(x) dx = – + + 2x 3 2 –1 –1 8 4 –1 1 =– + +4– – + –2 3 2 3 2 8 1 3 =– +6– – 3 3 2 16 36 7 27 9 =– + + = = . 6 6 6 6 2 Activité. Aire

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite

Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances croissantes 66 IV 66 Algèbre linéaire 29 Espaces vectoriels 66 30

. . . . . 3 Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 3.1 Intégrales des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales

application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 20 21 21 22 22 22 2. Fonctions et applications 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . Injection, surjection, bijection . . . . . Image, image réciproque d’une partie Composition des applications . . . . . Ensemble des applications de E vers F . .

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � Exercice 1 Soit f la fonction de la variable complexe dé�nie par: f(z) = 2z2ez e2z + 1 : 1. Déterminer les singularités et les résidus. 2. Pour R > 0, on considère le contour rectangulaire �R dé�ni par x = �R, y = 0 et y = �. Calculer l�intégrale Z �+R f(z)dz. 3. En déduire la valeur de l�intégrale I = Z +1 �1 2x2ex e2x + 1 dx. Exercice 2 À l�aide de la transformée de Fourier, déterminer la fonction g, continue et intégrable au sens de Riemann sur R, solution

Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit calcul... Une autre façon de procéder est de remarquer que, dans l’ouvert C, la fonction z → z 2 + 3z admet une primitive, égale à F : z → z 3 /3 + 3z 2 /2. On a alors, et ceci ne dépend en fait pas du chemin suivi : I = F (2) − F (2i). Bien sûr, on doit trouver le même résultat ! Exercice 3 - Indice d’une ellipse - L3/M1 On va construite

autorisée est un délit. 25 26 28 32 33 7. Fonctions usuelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 93 93 95 98 99 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 4. Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 43 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 43 45 48 49 8. Comparaison locale des fonctions Les méthodes à retenir Énoncés des exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➤ On note θ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➤ θ vérifie : cos θ = . . . . . . . . . . . . sin θ = . . . . . . . . . . . . Exemple 7 Calcul d’un argument de nombres complexes : ➔ z1 = 2 + 2i : √ ➔ z2 = 1 + i 3 : Propriété 7 Propriétés algébriques des arguments : ♦ arg(zz ′ ) = . . . . . . . . . . . . . . .