Croissance exponentielle

------ ; Writeln(t) ; End. Exercice 3 Dans tout l’exercice,  désigne un réel strictement positif. 1) On considère la fonction h définie sur IR par : 2 x e  x si x  0 h (x) =  .  0 si x  0 a) En se référant éventuellement à une loi exponentielle, montrer la convergence de l’intégrale 0  h( x) dx puis donner sa valeur. 2 b) Montrer que h peut être considérée comme la densité d’une variable aléatoire X. c) Montrer la convergence de l’intégrale possède une espérance et la

e prenant en charge le param`tre suppl´mentaire nombre de points fixes. e e Finalement, comme nous a fait remarquer Knuth, il existe une similitude entre notre mod`le et un probl`me de g´n´ration de variables e e e e al´atoires de distribution exponentielle ´tudi´ par von Neumann, dont e e e une g´n´ralisation est d´crite par Knuth [5]. Le lien entre notre mod`le et e e e e le probl`me de von Neumann est ´tabli au moyen d’un codage classique e e des permutations dˆ ` Lehmer. ua 2. Le probl`me des

communications dans un intervalle de temps donn´), le contrˆle de qualit´ statistique, e o e la description de certains ph´nom`nes li´s ` la d´sint´gration radioactive (la d´sint´gration des e e e a e e e e noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de param`tre not´ aussi lambda), e e la biologie, la m´t´orologie, . . . .” ee 2 Construction Une des mani`res de construire cette loi est de montrer que les lois binomiales convergent (en e probabilit´) vers cette loi. e Consid´rons un

1] par f (x) = x +m où m est une constante réelle. Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque 1 1 d. m = e−1 c. m = e 2 a. m = −1 b. m = 2 C. La durée de vie en années d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0, 2. Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est 1 1 1 1 a. 1 − b. c. d. (e − 1) e e 5e 0, 2 Baccalauréat S E XERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement

Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.1.2 Loi normale et loi lormale centrï¿ 2 e-rï¿ 1 duite . . . . . 2 2.1.3 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 15 16 17 17 17 3 Introduction aux methodes de Monte-Carlo 18 3.1 Thï¿ 1 orie . . . .

principales distributions en fiabilité ................................................... 24 I. Estimation paramétrique .............................................................................................................. 25 I.1. Loi exponentielle .................................................................................................................... 25 I.1.1. Un exemple simple .................................................................................................

toute la population ou reste confinée à un plus petit nombre d’individus. Le système ainsi construit n’est pas markovien dans le cas général, il faut pour cela choisir la loi I telle qu’elle est la propriété d’absence de mémoire (par exemple une exponentielle). Dans la suite nous donnerons quelques propriétés de ce modèle avant de voir comment le généraliser à d’autres situations. 1.2 Construction de Sellke Une construction équivalente, proposée par Sellke en 1983, se base sur l’ idée d’affecter

paramètres réels µ et σ 2 , σ > 0, X ∼ N (µ; σ 2 ) : ∀t ∈ R, P(X t) = − t √1 −∞ σ 2π e (x−µ)2 2σ 2 dx. Figure 1.3 – Densité de probabilité de la loi normale N (0; 1). 10 • la loi exponentielle de paramètre λ ∈ R∗ , X ∼ E(λ) : t −λx dx. −∞ λe t) = ∀t ∈ R, P(X Figure 1.4 – Densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre k. • La loi du χ2 : Soient X1 , X2 , ..., Xk , k variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales de moyennes respectives µi et d’écart-type σi . Soient les

aléatoires indépendantes 5- Exercices IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi normale (µ, σ) 7- Exercices VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes 1- L'inégalité de Tchebychev 2- Loi des grands nombres 3- Théorème central-limite 4- Exercices VII- Echantillonnage 1- Description

service s : nombre de stations N : capacité du système Pour spécifier A et B les symboles suivants sont utilisés : M : loi de poisson pour A et loi exponentielle pour B, G : loi générale, E : loi d’Erlang d’ordre k D : cas déterministe Exemple : M/M/1/3 désigne une file d’attente dans laquelle les arrivées suivent une loi de Poisson, le service est exponentiel, avec une seule station de service et de capacité 3. INSEA_ Cycle des ingénieurs d'Etat Pr. K. Rahhali Page 3 sur 12 Files d’attente II-