Croissance exponentielle

simuler n’importe quelle loi, à condition d’avoir un algorithme pour calculer F − . Rappelons que lorsque X est à densité, F − est la fonction inverse (au sens fonction réciproque) de la fonction de répartition. Exemple : simulation d’une loi exponentielle de paramètre λ. La fonction de répartition est x → 1 − exp(−λx), sa réciproque est x → − λ1 ln(1 − x). D’où l’algorithme (car U et 1 − U ont la même loi) : U = rand(1); X = −log(U )/lambda; 3. Méthode du rejet Il y en a plusieurs versions

e e e et d’une loi exponentielle ε(0, 1). Pour ce faire, nous avons trac´ ces densit´s sur l’histogramme : e e 3 Estimation non param´trique de la densit´ e e On utilise les donn´es pour tracer la densit´ ci-dessous : e e Densit´ des observations e Comparons maintenant avec les r´sultats trouv´s dans la question pr´c´dente : e e e e Densit´s ”possibles” rajout´es e e On remarque que l’on ne peut pas choisir entre la densit´ de la loi exponentielle et celle de la loi

vrai ou faux, garçon ou fille. 2- loi de poisson : elle est utilisée pour déterminer le nombre d’événement indépendant se produisant dans un laps de temps. Exemple : l’arrivée des clients à un guichet, gestion des files d’attentes. 3- loi exponentielle : elle est utilisée quand on s’intérèsse au temps d’attente entre 2 évènements. Exemple : temps inter arrivé sur un guichet. Gestion des files d’attentes. 4- loi normale : elle est un peu la loi universelle, car elle peut s’utiliser dans un

pour x ≤ 0  0 x/a pour 0 ≤ x ≤ a F (x) =  1 pour x ≥ a La loi de la variable al´atoire est alors : e  pour x ≤ 0  0 1/a pour 0 ≤ x ≤ a f (x) = F (x) =  0 pour x ≥ a Les esp´rance et variance sont : E(X) = 1 a, V ar(X) = e 2 La distribution exponentielle : F (x) = 1 − e−λ x pour x ≥ 0 0 pour x < 0 1 2 a. 12 La loi de la variable al´atoire est alors : e f (x) = F (x) = λe−λ x pour x ≥ 0 0 pour x < 0 1 . λ2 1 La loi de la variable al´atoire est alors : E(X) = λ , V ar(X) = e La distribution

ar(X) = Fili`res: GI: S3 e Variables al´atoires continues e 8 3.6.2. Loi exponentielle D´fintion: e Soit λ ∈ R avec λ > 0. Ondit que X suit la loi exponentielle de param`tre λ, si sa densit´ f e e est d´finie par: e λe−λx si x ≥ 0 f (x) = 0 sinon On note en abreg´ X ∼ Exp(λ). e Remarque: On a bien f (x)dx = R 0 +∞ λe−λx dx = −e−λx ∞ 0 =1 Propri´t´: ee Si X suit la loi exponentielle Exp(λ) alors la fonction de r´partition F est donn´e par e e   1 − e−λx si x > 0 F (x)

Introduction et Modèle Statistique 5 7 11 11 15 15 16 17 18 21 23 27 27 29 29 30 33 37 37 39 40 43 46 48 51 51 54 54 56 57 57 3 Chapitre 1. Introduction Chapitre 2. Modèle Statistique 1. Définition 2. Modèle d’échantillonnage 3. Vraisemblance 4. Familles Exponentielles 5. Modèle position-échelle 6. Exercices Partie 2. Estimation ponctuelle Chapitre 3. Statistique et Estimateur Chapitre 4. Construction d’estimateurs 1. Estimateurs empiriques (des moments) 2. Méthode de substitution 3. Méthode des moments 4.

corrigé de l’exercice 2.16. Remarque. Parmi les lois à densité que nous verrons au chapitre suivant, la loi exponentielle est la seule à posséder cette propriété. Rien d’étonnant dans cette histoire : de même qu’une suite géométrique peut être considérée comme la version discrète d’une fonction exponentielle, la loi géométrique peut être vue comme la discrétisation en temps de la loi exponentielle (voir exercice 3.16). Les lois géométriques possèdent une autre propriété remarquable, à savoir leur stabilité

peut donc en deduire : N(t) = n , Tn  t < Tn+1 Le graphe suivant representeN(t) pour t allant de 0 a 50. 2 Figure 1 { Nombre de sinistres en fonction du temps entre t=0 et t=50 Nous savons que si les inter-arrivees Ei suivent une loi exponentielle de parametre  alors le processus de comptage N(t) suit un processus de poisson de parametre t   Nous allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex- penentielle. Dans un premier temps nous devons trouver

importante : la famille des lois exponentielles. 4.2 Cas du modèle exponentiel On rappelle tout d’abord la définition du modèle exponentielle. Définition 10 On appelle famille exponentielle à s-paramètres, toute famille de loi de distribution {Pθ } dont la densité a la forme suivante : s f (x|θ) = exp i=1 ηi (θ)Ti (x) − B(θ) h(x) (2) où ηi (.) et B(.) sont des fonctions du paramètre θ et Ti (.) sont des statistiques. Exemples : • Loi exponentielle : 1 −x/θ e 1[0,+∞[ (x)

réduite    Somme de carré de lois Normales centrées réduites (loi du Khi-deux). Soient deux à deux indépendantes qui suivent chacune une loi . Alors, suit une loi . 7. Loi Exponentielle    Estimation. Loi Exponentielle et loi Gamma. La loi Exponentielle est un cas particulier de la loi de paramètres . 8. Loi de Student   Propriété. Soient deux variables aléatoires indépendantes: qui suit , et qui suit . La variable aléatoire