Croissance exponentielle

Définition : la loi exponentielle   On appelle loi exponentielle sur l’intervalle I, la loi de probabilité continue dont la densité f est la  fonction définie sur  +  par : f(x) =  λ e − λ x où  λ  est un réel positif   Pour cette loi ainsi définie la probabilité d’un intervalle  [α , β ]  de  +  et    β   p( [ α, β] )=  λe −λx dx  et p( [ α, +∞[  ) =  e − λα  où  α  et  β  deux réels de  ∫ +   α Variable aléatoire   On dit qu’une variable aléatoire X à valeur dans   +  suit la loi exponentielle de paramètre 

et Symbole Densité f X (x ) Support Espérance Variance Fonction caractéristique Loi uniforme U [a, b ] [a, b] [a, b] ⊂ " 1 1 [ a ,b ] ( x ) b−a Loi normale ou de Gauss N (m,σ 2 ) 1 " m ∈ ", σ ∈ "+* Loi gamma G (α , λ ) σ 2π Loi exponentielle exp(λ ) = G (1, λ ) λe "+ λ ∈ "+* n 1 Loi du chi-deux χ n2 = G ,  "+ ème imt − σ 2t 2 2 e x 2 n −1 x2 α α λ λ2 1 1 1 λ λ 1− n 2n  it  1 −   λ 2 −α it λ (1 − 2it )−n / 2 2 espèce β1(a, b) [0,1] a ∈ "+*

Exercice 2 Pour tout réel x, on note ⎣ x ⎦ la partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier vérifiant : ⎣ x ⎦ ≤ x < ⎣ x ⎦ + 1. On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A, P). 1) a) Déterminer X1(Ω). b) Pour tout k de

Chapitre 9 Chapitre 9. Lois à densité Activités et applications 2. Loi exponentielle Activité. Ajuster une courbe pour calculer des probabilités 1. Loi uniforme Activité. Une simulation 1. 1. La fréquence est 103 = 0,103. 1 000 Ύ2 000 3 000 f(x) dx. 2. y 2. Sur l’ordinateur. 3. Il faut entrer la formule, =NB.SI(A2:A1001;''<0,2'')–NB.SI(A2:A1001;''<0,1'') . 4. x X < 0,1 0,1 < X < 0,2 0,1 < X < 0,4 X > 0,6 10 % Intuition Fréquence trouvée 0,103 par la simulation 10 % 30 % 0 40 % y

2012 I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 1 / 28 Sommaire 1 Loi d’une v.a. continue 2 Fonction de répartition 3 Moments d’une v.a. continue 4 Quelques lois usuelles continues 5 Loi uniforme 6 Loi normale 7 Loi exponentielle I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 2 / 28 Loi d’une v.a. continue Loi d’une v.a. continue I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 3 / 28 Loi d’une v.a. continue Soit X une variable aléatoire dont les valeurs

Transp. des fct. math. 201-026-LI Chapitre 8 Modèle exponentiel et logarithme Notes de cours Hiver 2015 8.1 Fonction exponentielle Exemple introductif : Quelle est la valeur d’un placement de 2 000 $ placé à 7,5% d’intérêt (capitalisé annuellement) au bout de 10 ans ? Le montant de 2 000 $ est ce qu’on appelle le capital initial. On le note ?0 . On cherche une fonction qui nous donnera le capital ? au temps ?. Remarque : Dans cet exemple, le temps ? est une variable qui ne peut prendre que des

Classe de terminale 10 Jeudi 26 novembre 2009 Devoir de mathématiques n°3 Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer

Fonctions exponentielles et logarithmes On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle. 1. La fonction exponentielle Définition Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle

On considère dans l’ensemble des nombres complexes a  2  i 2 et b  3  i 1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)   2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos et sin 12 12 a a 3) a) Mettre sous forme exponentielle puis 1  b b b) En déduire la forme exponentielle de a + b x2 telles que 0  x1  1  x2  2 

"DU CLUB DE ROME" – 1972 )* La croissance exponentielle Il faut 7 ans pour doubler un capital placé à 7%, et 25 ans pour le multiplier par 10: c'est ça la croissance exponentielle! Un autre exemple est celui de la croissance exponentielle dans un domaine fini. Sachant qu'un nénuphar double sa surface tous les jours et qu'on suppose qu'il faudrait 30 jours pour couvrir intégralement un étang en étouffant toute autre forme de vie aquatique, si on veut limiter la croissance à la moitié de l'étang, pendant