Décomposition arborescente

Laboratoire d’Informatique de Paris 6 23 Massih-Reza.Amini@lip6.fr Laboratoire d’Informatique de Paris 6 24 Représentation plus riche: Latent Semantic Indexing Décomposition de la matrice des données en valeurs et vecteurs singuliers Matrice Σ des valeurs singulières t Le LSI est la décomposition en valeurs singulières d’une matrice terme-document X = U.Σ.V t X t1 t2 d2 t3 d3 t4 Termes Documents t4 t3 d1 t1 t2 U Σ V d1 d2 d3 Vecteur singulier V des termes Vecteur

propres associés de la Les méthodes numériques permettant d’effectuer ce calcul sont nombreuses dans la littérature [Press, 1992], [Korn, 1961] ; une méthode robuste est fondée sur l’utilisation de l’algorithme de décomposition en valeurs singulières (ou SVD pour « Singular Value Decomposition ») [Press, 1992] ; c’est celle que nous utilisons ici. On recherche la matrice D telle que : D = P −1 ⋅ C ⋅ P Eq. 2 λ1  où D est la matrice diagonale des valeurs propres D =  0 0   ainsi l’inverse

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

= ax 3 + (b − a)x 2 + (c − b)x − c =1 = −2 =3 = −2 =1 b = −1     c =2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x − 1)(x 2 − x + 2). 1 ¡ Niveau : première Fiche méthode : méthode par identification des coefficients F. Demoulin 3.2 Décomposition d’une fraction rationnelle 2x 2 + 7x + 8 . x +2 Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R − {−2}, on ait : f (x) = ax + b + Soit f la fonction définie sur R − {−2} par f (x) = Réponse : pour tout x de R − {−2} : c x +2 (ax + b)(x

NOM : Prénom : NOTE : / 20 Mathématiques TERMINALE S Contrôle de leçon : bases de 1ere S sur limites de fonctions (Calculatrice autorisée) 1) Compréhension et pratique de base : a) f est la fonction √ Objectif : Déterminer toutes les études de limites envisageables pour cette fonction et trouver les réponses à ces études. Consigne : On ne donnera aucune justification mais on remplira un tableau donnant, d’une part, la condition d’étude choisie et d’autre part la réponse à cette étude

par exemple) ou encore découvrir de nouvelles formules(Grassmann pour ne citer que lui). Les modélisations matricielles sont de nos jours toujours utiliser. En effet de tels modélisations permettent par exemple de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs singulières), de repérer les caractéristiques d'un code génétique (analyse en composantes principales), de créer des environnements 2D et 3D. Propriétés, définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes

Transformation de Laplace ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français. En complément de son travail reconnu sur l’étude des équations différentielles, il a contribué notamment à la théorie des probabilités et à l’évolution de la mécanique céleste. ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars

d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments simples dans et donc Exemple 1 : Calculer R[x] de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans cet exemple on passe diréctement a la deuxième étape : f (x) = Calcule de x−1 x−1 a bx + c = = + 2 3 + 4x 2 + 4) x x(x

Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées. Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par zéros. Pge p 

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.