Dérivabilité

I) Variations de fonction et signe de la dérivée 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Propriété 1 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≥0 • si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)≤0 • si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f ' ( x)=0 2) Réciproque : du signe de la dérivée au sens de variation Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors • si pour

BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions FONCTIONS Table des matières I Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier . I.2 Fonctions affines . . . I.3 Fonction logarithme . I.4 Fonction exponentielle I.5 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La Réunion, série S, 21 juin 2011 Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n’ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −i + j + k. 3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est le plan d’équation −4x + 2y + 5z − 52 = 0. −−→ −−→ 4. L’ensemble des points M de l’espace tels que M A − 3MB = 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées (−5; 5; 72). ➠ Pour voir les justifications (cliquer

Chapitre 1 Fonction exponentielle 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ Pour tout nombre entier n, Pn est la puissance d’un disque dur en janvier de l’année de rang n sachant qu’en 2011 P0 = 4 To. 2 n On a Pn = 2 3 P0. Pour 2014, n = 3 P3 = 4 P0 = 16 To Pour 2023, le rang est 12 P12 = 28 × P0 = 256 × 4 To P12 = 1 024 To Énigme ✱✱ 100 =2E 100 2 Ê 50 ˆ = 2,25 E Remboursement tous les 6 mois :  Á1 + Ë 100 ˜¯  Remboursement tous les n-ième de l’année : n Ê 100 ˆ n Á ˜ Ê 1ˆ n ÁË1 + ˜ = Á1 + ˜ . 100

MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2015-2016 Devoir libre n◦5 A rendre pour le mardi 10/11 Exercice 1 Considérons la fonction f suivante : R∗+ → R 1 x → 2−x + 2− x f: On souhaite déterminer le maximum de f sur R∗+ . 1. Montrer que f (R∗+ ) = f (]0, 1]). 2. Justifier que f est dérivable sur ]0, 1] et montrer que pour tout x ∈]0, 1], on a : f ′ (x) ≥ 0 ⇔ g(x) ≥ 0 avec g(x) = x− 1 x ln 2 − 2 ln x. 3. Etudier les variations de g sur ]0, 1]. 4. En déduire le maximum de f sur R∗+ . Exercice

“Stabilité” de la continuité … 31 Prolongement par continuité d’une fonction en un point 32 Exemples 33 Dérivabilité Dérivabilité en un point 34 Interprétation géométrique 35 Exemples 36 Exercice 37 Dérivabilité et continuité 38 Dérivabilité globale 39 Quelques formules de dérivation 40 Dérivée itérée 41 Formule de Leibniz 42 Quelques applications de la dérivabilité Etude du sens de variation d’une fonction 43 Exemples 44 Recherche d’extremums (Définitions) 45 Unicité

3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Exercice 3 Soit f la fonction définie par : fx=x2-1x-1+1 Etudier la continuité puis la dérivabilité de f en 1. Exercice

f en 0 b°) étudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter les résultats. 3°) a°) Calculer f’(x) pour x ≤ 0 b°) Montrer que f’(x) =  pour x > 0 c°) Dresser le tableau de variation de f. 4°) montrer que f ()= -  5°) tracer (cf) dans un repère orthonormé d’unité 2cm et prendre  Soit h la restriction de f sur I = a°) Montrer que h est une bijection de I vers J à déterminer b°) Etudier la dérivabilité de h-1 sur J c°) Tracer la courbe de h-1

TD14 : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION :::::::: Objectifs ::: du ::: TD :: : • Justifier la dérivabilité d’une fonction en un point • Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence • Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée) • Manipuler la fonction arc tangente Exercice no 1 Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) = |x| x ln (1− |x|) 1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 2) Prouver que f est

Définition de la dérivée lim h →0 Calcul de la dérivée d’une fonction en un point à partir de la définition Fonction dérivée Dérivabilité d’une fonction Esquisse du graphique de la dérivée d’une fonction à partir du graphique de la fonction et inversement Théorème faisant le lien entre la dérivabilité et la continuité Dérivabilité sur un intervalle (dérivabilité à gauche et à droite) Cas ou la dérivée n’existe pas Dérivée de fonctions constantes, de la fonction identité, du multiple d’une