Discriminant

4a 2 Or : D’où : 2 2 ææ ææ cö b bö b2 cö bö b2 - 4ac ö æ ÷ a ç x2 + x + ÷ = a ç ç x + ÷ - 2 + ÷ = a ç ç x + ÷ çè çè è aø a 2a ø a÷ 2a ø 4a 4a 2 ÷ è ø è ø Pour simplifier cette écriture, posons D = b2 – 4ac. La quantité D s’appelle le discriminant du trinôme ax2 + bx + c. On a ainsi : 2 ææ bö D ö ax2 + bx + c = a ç ç x + ÷ - 2 ÷ çè 2a ø 4a ÷ è ø Définition 3 : Cette dernière expression, de la forme a(x + a) + b s’appelle la forme canonique du trinôme. Cette forme canonique va nous servir

Nombre d'objets 0 10 20 30 40 50 60 70 b°) Résoudre algébriquement (c’est-à-dire par le calcul) ce problème. Coût pour 50 objets : on calcule C(50) soit 3800 Nombre d’objets pour 3000€ : on résout x²+20x+300=3000 soit x²+20x-2700 = 0 Le discriminant vaut 20²-4(-2700)=11200 strictement positif donc deux racines. On ne garde ici que la solution positive soit > = ?@AB√DD@AA @ ≈ 42,91 c°) Comparer les résultats obtenus. Les résultats obtenus sont conformes à ceux obtenus par lecture graphique

d’une fonction polynôme est une parabole La fonction admet un minimum pour maximum vaut : ou un maximum pour II. Résolution d’une équation du second degré , ce minimum ou avec Pour résoudre une équation du type On calcul le discriminant delta noté . est donné par la formule :  l’équation Si et  et . admet deux solutions distinctes : sont appelées les racines de la fonction l’équation Si , admet une solution double est appelée la racine de

Interrogation 2 Rappel : Pour résoudre l’équation , on peut procéder comme suit : ¤ Calculer le discriminant Δ = ¤ Si Δ > 0 alors l’équation admet deux solutions ¤ Si Δ < 0 alors l’équation n’a pas de solutions. | Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) b) c) d) Exercice 2 1) Dresser le tableau de signe de l’expression : 5x

d’où on tire : π cos 12 3+2 = 2 . Exercice 12 - Equations du second degré - L1/Math Sup 1. Le discriminant de cette équation du second degré vaut : ∆ = (−2i)2 − 4(−1 + 2i) = −8i. √ Une racine carré de ∆ est donnée par δ = i × 2 2 × eiπ/4 = −2 + 2i. En appliquant les formules du cours, on trouve que les racines sont : 2i − 2 + 2i 2i + 2 − 2i = −1 + 2i et = 1. 2 2 2. Le discriminant de cette équation du second degré est : ∆ = (4i − 3)2 − 4i(i − 5) = −4i − 3. On en cherche une racine carrée

définition de f (x) = x 2 + 3x + 2 ? Ü Ö Ü Ö f est la fonction définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c dont la représentation graphique f est la parabole représentée ci-contre. 1. Le réel a est-il positif ? Pourquoi ? 2. Quel est le signe du discriminant ? 3. Déterminer les réels b et c sachant que 3 a =− . 5  O ı f 1 Année scolaire 2010-2011 DS no 1 Année scolaire 2010-2011 −b + ∆ −3 + 1 −2 −b − ∆ −3 − 1 −4 = = = −2 et x2 = = = = −1 2a 2×1 2 2a 2×1 2 On obtient : x1 = x p(x) −∞

exemples de formes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Forme canonique du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 2 Racines du trinôme 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Le discriminant est positif 2.3 Le discriminant est nul . . 2.4 Le discriminant est négatif 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 3.1 Factorisation du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Somme

canonique du polynôme ax 2 + bx + c . Le nombre ∆ = b 2 − 4ac est le discriminant du polynôme ax 2 + bx + c ou de l’équation ax 2 + bx + c = 0 . • La représentation graphique de tout polynôme du second degré ax 2 + bx + c est une parabole admettant un axe de b symétrie d’équation x = − . 2a ( ) III) Equation ax 2 + bx + c = 0 , factorisation du polynôme ax2 + bx + c Théorème : Soit le polynôme ax 2 + bx + c , a ' 0 de discriminant ∆ = b 2 − 4ac . Signe de ∆ Résolution de l’équation ax 2 + bx +

trinôme du second degré est une parabole de sommet S(α; β), orientée vers le haut ou vers le bas ; on a donc deux cas de figure : Si a > 0 α Si a < 0 α β x P (x) −∞ +∞ +∞ +∞ x P (x) −∞ +∞ β −∞ −∞ II Discriminant Définition : On appelle discriminant du polynôme P (x) = ax 2 + bx + c le nombre ∆ = b 2 − 4ac. 1) Racines Déterminer les racines d’un polynôme P (x) = ax 2 + bx + c revient à résoudre l’équation P (x) = 0 soit ax 2 + bx + c = 0. – si ∆ < 0, l’équation n’a pas

d’où on tire : π cos 12 3+2 = 2 . Exercice 15 - Equations du second degré - L1/Math Sup 1. Le discriminant de cette équation du second degré vaut : ∆ = (−2i)2 − 4(−1 + 2i) = −8i. √ Une racine carré de ∆ est donnée par δ = i × 2 2 × eiπ/4 = −2 + 2i. En appliquant les formules du cours, on trouve que les racines sont : 2i − 2 + 2i 2i + 2 − 2i = −1 + 2i et = 1. 2 2 2. Le discriminant de cette équation du second degré est : ∆ = (4i − 3)2 − 4i(i − 5) = −4i − 3. On en cherche une racine carrée