Discriminant

Chapitre 1 Chapitre 1. Le second degré Activités et applications Application 1 a) – 3x2 + 5x – 2. 1. Équation du second degré ; discriminant Δ = 52 – 4 × (– 3) × (– 2) = 1 > 0. x1 = Activité 1. a) et b) D’après le graphique, le 1er projectile tombe à – 5 – 11 – 5 + 11 2 = 1 ; x2 = = . –6 –6 3 – 3x2 + 5x – 2 + 0 – Δ = 32 – 4 × 2 × (– 1) = 17 > 0. x1 = – 3 – 417 – 3 + 417 ; x2 = . 4 4 x a) x2 – 5x + 4 = 0. 2x2 + 3x – 1 Δ = (– 5)2 – 4 ×

f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x " 4a)/4a f(x)=a(x-(-b/2a))^2-(b^2-4ac)/4a On pose ∆=b^2-4ac. Ce nombre ∆ est appelé le discriminant du trinôme ax+bx+c. On obtient ainsi la forme canonique de f : f(x)=a(x-((-b)/2a))^2-∆/4a Exemple : Pour tout réel x, f(x)=-2x^2+12x-14. On calcule le discriminant de f : a=-2 b=12 c=-14 〖12〗^2-4*(-2)*(-14)=144-112=32 On calcule (–b)/2a "et " (-∆)/4a (-b)/2a=(-12)/(2*(-2))=(-12)/(-4)=3 (-∆)/4a=(-32)/(4*(-2))=(-32)/(-8)=4

15152 − 4 × 2014 × (−2013) = 15152 + 4 × 2014 × 2013 > 0 donc ce trinômr admet deux 2013 < 0 donc elles sont de signes contraires. racines distinctes. Le produit de ces racines vaut − 2014 b. Le trinôme −7(13x − 17)2 a un discriminant nul. 17 est une racine double donc le discriminant de ce trinôme est nul. Le nombre réel 13 Massy Soedirman – Mathématiques – Lycée Louis le Grand Première S1 Année 2014-2015 c. Si a et c sont de signes contraire, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 a deux solutions

sont solutions de X2-SX+P=0 en remplaçant X par a puis b.a2-a+ba+ab=a2-a2-ab+ab=0 b2-a+bb+ab=b2-ab-b2+ab=0 CQFD Condition nécessaire d’existence de a et b: il faut que l’équation X2-SX+P=0 admette deux solutions distinctes, c’est à dire que le discriminant soit positif. Il faut que (-S)2-4×1×P≥0. Or S2-4P=a+b2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2qui est toujours positif ou nul. Donc a et b existent toujours (sans condition). Soit L et l les dimensions de ce rectangle alors L×l=195 et L+l=28

canonique de P(x) est donc : P(x)=2(x+1)2+3 2. Equations du second degré Définition On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0 Remarque Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" ! Définition On appelle discriminant du polynôme P(x)=ax2+bx+c le nombre : Δ=b2−4ac Théorème Si Δ > 0, le polynôme P admet deux racines distinctes : x1= −b−√Δ 2a et x2= −b+√Δ 2a Si Δ=0, le polynôme P admet une racine unique : x0= −b 2a Si Δ < 0, le polynôme P n'admet

est invariant par f si et seulement si f(M) = M. f(M) = M ⇔ Z = z ⇔ z - 4 = z ⇔ z - 4 = z2 - z ⇔ z2 - 2z + 4 = 0 z-1 L'équation z2 - 2z + 4 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels, on peut donc la résoudre en calculant son discriminant : ∆ = (- 2)2 - 4 x 4 = 4 - 16 = - 12 = (2i 3 )2 et z2 = 1 + i 3 L'équation z2 - 2z + 4 = 0 a donc pour solutions z1 = 2 - 2i 3 = 1 - i 3 2 Donc f a deux points invariants : le point I d'affixe 1 + i 3 et le point J d'affixe 1 - i 3 . Voir

bx + c = 0 avec a ≠ 0 Cette équtation équivaut à : a [ ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c ] = 0 2 a 4 a2 comme a ≠ 0 : ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c = 0 2 a 4 a2 Posons ∆ = b2 – 4 a c ; ∆ est appelé discriminant du trinôme. ( x + b ) 2 – b2 – 4 a c = 0 devient: 2 a 4 a2 ( x + b ) ² = _∆_ 2 a 4 a2 si ∆ < 0 Pas de solution si ∆ = 0 ( x + b )² = _∆_ devient : x + b = 0

ç ö ø ÷ = a x b a b a c a + æ è ç ö ø ÷ - + æ è ö 2 4 ø 2 2 2 = a x b a b ac a + æ è ç ö ø ÷ - æ - è ö 2 ø 4 4 2 2 2 Pour simplifier cette écriture, posons D = b 2 – 4ac. La quantité D s’appelle le discriminant du trinôme ax 2 + bx + c. On a ainsi : ax 2 + bx + c = a x b a a + æ è ç ö ø ÷ - æ è ö ø 2 4 2 2 D Définition 3 : Cette dernière expression, de la forme a(x + a) 2 + b s’appelle la forme canonique du trinôme. Cette forme

solutions x = √ √ −c −c ou x =− a a . c) Exemples Résoudre : 2x² -3x = 0 x² – 4 = 0 2x² + 7 = 0 5x² – 3 = 0 3) Cas général Soit l'équation ax² + bx + c = 0, avec a non nul. On calcule Δ = b² – 4ac. Δ s'appelle le discriminant de l'équation. Si Δ < 0, il n'y a pas de solution. −b , qu'on appelle "racine double". 2a −b− √ Δ −b+ √ Δ et x 2= Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x 1 = 2a 2a Si Δ = 0, il y a une solution unique x 1 = Démonstration

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 Application a) Δ = 4. • Puisque Δ > 0, x2 – 6x + 8 = 0 a deux solutions : 6 – 14 6 + 14 x1 = = 2 et x2 = = 4. 2 2 • Factorisation du trinôme : x2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4). • Contrôle visuel : y J I O x Le discriminant de f1(x) est Δ = 62 – 4 × 1 × 8 = 4. Puisque Δ > 0, l'équation f1(x) = 0 a deux solutions : – 6 – 14 – 6 + 14 x1 = = – 4 et x2 = = – 2. 2×1 2×1 b) Résolution de l’équation f1(x) = 0 : c) Position de la parabole représentative de f1 par rapport