Discriminant

algébrique. Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue z dans laquelle figurent on remplace dans l’équation donnée. ̅, on pose et Pour résoudre une équation du second degré d’inconnue z à coefficients réels, on calcule le discriminant ∆, suivant son signes on a alors des solutions réelles ou complexes conjuguées. Exemples : Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes : a) ( ) ) ̅ ) ) Comment déterminer un ensemble de points à partir de la forme algébrique

x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x2 + mx + n). En développant et en identifiant les coefficients, on obtient m = −2 et n = 2. On vérifie que l’on a bien l’identité x3 + x2 − 4x + 6 = (x + 3)(x2 − 2x + 2). Or, pour résoudre x2 − 2x + 2 = 0, on obtient un discriminant négatif ∆ = (−2)2 − 4 × 2 = −4. Ceci montre que le polynôme x2 − 2x + 2 ne possède pas de racine et donc le polynôme R ne peut pas avoir d’autre racine que la valeur −3. En conclusion, l’équation (3) possède une unique solution égale à −3 et on

abscisses des points de Cf ayant une tangente horizontale sont les solutions de l’équation f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 3x2 + 16x + 17 = 0 C’est une équation du second degré de la forme ax2 + bx + c = 0 avec    a =3 b = 16 ⇒ ∆ = 52 > 0   c = 17 Le discriminant étant positif, l’équation admet deux solutions réelles qui sont les abscisses les abscisses des points de Cg qui admettent une tangente de horizontale donc de coefficient directeur 0 soit : S = www.math93.com / M. Duffaud −16 − 6 √ 52 −16 +

0    est appelée la forme canonique de  Démonstration :  2               c – Discriminant  Le réel   4  est noté   et appelé le discriminant de l’équation du second  0                         yosri_prof@yahoo.fr         /                  Tel :23 356 901    2 Mr HAMADA  ‐ Prof Principal                d – Solutions (racines) d’une équation du second degré  Soient  ,  trois réels avec    0 . On pose   discriminant de l’équation  0. On a :    Les solutions  L’équation n’a pas de racines dans 

Équations et inéquations du second degré 1/ Résolution de l’équation a x ² + b x + c = 0 avec a 0 On pose = b ² - 4 a c. est le discriminant de l'équation. b b Si > 0, alors l’équation a deux solutions : et 2a 2a b Si = 0, alors l’équation a une solution : . 2a Si < 0, alors l’équation n’a pas de solution. . Attention, ceci n’est valable que pour les équations du second degré. x2 - 2 x - 3 = 0 a = 1 ; b = - 2 ; c = - 3 donc = ( - 2 )2 - 4 x 2 + 6 x - 16 = 0 a = 1 ; b = 6 ; c = - 16 donc = 62

matières Lettre de transmission Error! Bookmark not defined. 1- Mise en contexte et Objectif de recherche 4 2- Méthodologie 5 3- Résultats 6 4- Conclusion 8 5- Références 9 Annexes 10 A1 - Questionnaire 10 A2 – Analyse discriminante et sorties SPSS 14 Montréal, le 6 avril 2010 Monsieur José P. Dorais 420, boul. Charest Est Bureau 200 Québec (Québec) G1K 8M4 Objet : Rapport sur la mesure de l’intensité de recyclage de

( ξ 2 − 1) Selon les valeurs de ξ, les racines sont :  p = − ω ξ + ω ξ2 − 1  1 0 0 deux racines réelles ; ξ > 1 ⇔ ∆′ > 0 ⇔   p2 = −ω0 ξ − ω0 ξ2 − 1  ξ = 1 ⇔ ∆′ = 0 ⇔ p1 = p2 = p = − ω0 une racine double ; Recherchons les pôles de H : Le discriminant réduit vaut : 2 ω 0 + 2ξω 0s + s 2 = 0  p = − ω ξ + j ω 1 − ξ2  1 0 0 ξ < 1 ⇔ ∆′ < 0 ⇔   p2 = − ω0 ξ − j ω0 1 − ξ2  On peut alors écrire : H= deux racines complexes conjuguées. 2 K ω0 (s − p1 )(s − p2 ) 2 K ω0 (s − p1 )(s −

avec leur ordre de multiplicité mk . Si P ∈R[ X ] , ses racines dans C sont soit réelles soit complexes conjuguées avec le même ordre de multiplicité. En calculant ( X − α)( X − α) on obtient un polynôme de R[ X ] de la forme X 2 + bX + c avec un discriminant négatif. Donc dans R[ X ] , tout polynôme P non constant admet une factorisation de la forme : P( X ) = a (∏ ( X − α k) mk ) (∏ ( X 2 + bj X + c j ) mj ) où a est α est racine d’ordre m de P si P est divisible par ( X

pour axe de symétrie la droite d’équation x = . S est un minimum S est un maximum II- Equations du second degré 1) Discriminant d’une fonction polynôme de degré 2 Définition : Soit f (x) = ax² + bx + c avec a  0. La forme canonique de f est a (x - )² + , où  - et  = - . Le nombre réel b² - 4ac, noté , s’appelle le discriminant de f. 2) Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0, avec a  0 f (x) = a (x - )² - = a 1er cas :  > 0 f (x) = 0  a = 0 

img388.png et img389.png , donc img390.png divise 2__#$!@%!#__img386.png . 
On effectue la division euclidienne img391.png Or, img392.png , par conséquent, img393.png En effet, img394.png est un trinôme du 2img395.png degré à discriminant négatif. Pôles et éléments simples 32__#$!@%!#__img363.png étape Définition On dit que img396.png , est une fraction rationnelle irréductible ssi les polynômes 1__#$!@%!#__img371.png et 1__#$!@%!#__img372.png sont sans facteur commun. 
On